Hình học là một nhánh của toán học liên quan đến hình dạng, kích thước và tính chất của không gian. Nó liên quan đến việc hiểu các số liệu và các quy tắc mô tả mối quan hệ của chúng. Lĩnh vực nghiên cứu cơ bản này có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực bao gồm nghệ thuật, kiến trúc, vật lý và kỹ thuật.
Hình học được xây dựng trên một số khái niệm cơ bản: điểm, đường thẳng, mặt phẳng, góc và hình. Hiểu những khái niệm này là điều cần thiết để nghiên cứu những ý tưởng hình học phức tạp hơn.
Điểm là những dạng hình học đơn giản nhất, biểu diễn một vị trí cụ thể trong không gian mà không có bất kỳ kích thước, hình dạng hoặc kích thước nào. Mặc dù chúng ta biểu diễn các điểm trong bản vẽ dưới dạng dấu chấm nhưng về mặt toán học, chúng rất trừu tượng.
Các đường được định nghĩa là một tập hợp vô hạn các điểm kéo dài theo hai hướng ngược nhau. Các đường có chiều dài nhưng không có độ dày, khiến chúng trở thành một chiều. Đoạn thẳng và tia là một phần của đường thẳng. Một đoạn thẳng có hai điểm cuối và một tia kéo dài vô tận theo một hướng kể từ điểm gốc của nó.
Mặt phẳng là những bề mặt phẳng kéo dài vô tận theo mọi hướng. Hãy tưởng tượng một mặt phẳng như một tờ giấy không có cạnh. Các mặt phẳng có hai chiều, có chiều dài và chiều rộng nhưng không có độ dày.
Các góc được hình thành khi hai tia gặp nhau tại một điểm gọi là đỉnh. Lượng góc quay giữa hai tia được đo bằng độ. Các góc có thể là nhọn (nhỏ hơn 90 độ), tù (trên 90 độ nhưng nhỏ hơn 180 độ), phải (chính xác là 90 độ) hoặc thẳng (180 độ).
Các hình cơ bản bao gồm hình tam giác, hình tứ giác, hình tròn và đa giác. Mỗi hình có các thuộc tính và công thức duy nhất liên quan đến nó.
Hình tam giác là đa giác ba mặt và được phân loại dựa trên các cạnh hoặc góc. Dựa trên các cạnh, chúng có thể bằng nhau (tất cả các cạnh bằng nhau), cân (hai cạnh bằng nhau) hoặc hình thang (không có cạnh nào bằng nhau). Dựa vào các góc, hình tam giác có thể là nhọn, tù hoặc vuông.
Tổng các góc trong của bất kỳ tam giác nào luôn là \(180^\circ\) .
Tứ giác là các đa giác có bốn cạnh. Các hình tứ giác phổ biến bao gồm hình vuông, hình chữ nhật, hình bình hành, hình thoi và hình thang. Mỗi loại có những đặc tính riêng biệt:
Đường tròn là một hình phẳng được định nghĩa là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng cách một khoảng (bán kính) nhất định tính từ một điểm (tâm) nhất định. Các thuộc tính quan trọng của hình tròn bao gồm chu vi (chu vi của hình tròn) và diện tích. Chu vi (C) được cho bởi \(C = 2\pi r\) , và diện tích (A) được cho bởi \(A = \pi r^2\) , trong đó \(r\) là bán kính của hình tròn.
Chu vi là khoảng cách xung quanh một hình và diện tích đo không gian được bao quanh trong một hình. Ví dụ: chu vi của một hình chữ nhật có chiều dài \(l\) và chiều rộng \(w\) là \(2l + 2w\) và diện tích của nó là \(lw\) . Đối với một hình tam giác có đáy \(b\) và chiều cao \(h\) , diện tích là \(\frac{1}{2}bh\) .
Các phép biến đổi hình học bao gồm dịch chuyển (trượt), xoay (xoay), phản xạ (lật) và giãn nở (thay đổi kích thước). Các thao tác này thay đổi vị trí hoặc kích thước của hình dạng mà không làm thay đổi các thuộc tính cơ bản của chúng.
Bản dịch di chuyển mọi điểm của hình dạng cùng một khoảng cách theo cùng một hướng. Hãy tưởng tượng trượt một cuốn sách trên bàn. Cuốn sách di chuyển nhưng không xoay hoặc lật.
Phép quay làm biến một hình xung quanh một điểm cố định mà không làm thay đổi kích thước hoặc hình dạng của nó. Hãy nghĩ đến việc xoay một chiếc chìa khóa quanh ổ khóa. Chìa khóa quay nhưng hình dạng của nó vẫn giữ nguyên.
Sự phản chiếu tạo ra hình ảnh phản chiếu của một hình nằm trên một đường gọi là trục phản chiếu. Hãy tưởng tượng bạn đang nhìn một hình dạng trong gương; hình dạng trông giống nhau nhưng bị đảo lộn.
Sự giãn nở làm thay đổi kích thước của hình dạng, phóng to hoặc thu nhỏ, trong khi vẫn giữ nguyên hình dạng và tỷ lệ của nó. Hình ảnh phóng to hoặc thu nhỏ trên một bức ảnh.
Hình học tọa độ, hay hình học giải tích, kết hợp đại số và hình học để mô tả vị trí của các điểm, đường và hình trong không gian bằng tọa độ. Hệ tọa độ Descartes là phổ biến nhất, với trục \(x\) ngang và trục dọc \(y\) -.
Trong hệ thống này, các điểm được xác định theo cặp thứ tự \((x, y)\) . Các đường có thể được mô tả bằng các phương trình như \(y = mx + b\) , trong đó \(m\) là độ dốc và \(b\) là giao điểm y. Độ dốc biểu thị góc và hướng của đường thẳng, trong khi giao điểm y là nơi đường thẳng đi qua trục \(y\) .
Hình học có nhiều ứng dụng thực tế. Trong kiến trúc và kỹ thuật, nó được sử dụng để thiết kế và phân tích các cấu trúc. Trong nghệ thuật, hình học ảnh hưởng đến bố cục và phối cảnh. Trong đồ họa máy tính, các thuật toán hình học hiển thị hình dạng và kết cấu. Trong điều hướng, các khái niệm hình học giúp vẽ đường đi và bản đồ.
Hơn nữa, hình học đóng một vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu vũ trụ. Các nhà thiên văn học sử dụng nó để tính toán khoảng cách tới các ngôi sao và thiên hà. Các nhà địa lý sử dụng nó để hiểu hình dạng và kích thước của trái đất, cũng như trong vô số lĩnh vực khác, hình học hỗ trợ việc giải quyết vấn đề và đổi mới.
Hình học, với những nguyên tắc và phương pháp của nó, định hình sự hiểu biết của chúng ta về thế giới. Cho dù thông qua thiết kế phức tạp của một cây cầu, hình mẫu của tấm chăn hay quỹ đạo của một hành tinh, hình học đều giúp chúng ta diễn giải và sáng tạo trong môi trường của mình.
