الهندسة الإحداثية، والمعروفة أيضًا باسم الهندسة التحليلية، هي دراسة الهندسة باستخدام نظام الإحداثيات. يجمع هذا النهج بين الجبر والهندسة لوصف موضع النقاط والخطوط والمنحنيات.
النظام الإحداثي: النظام الإحداثي هو طريقة لتحديد موضع نقطة في المستوى باستخدام رقمين، يسميان الإحداثيات. النظام الأكثر شيوعًا هو نظام الإحداثيات الديكارتية، حيث يتم تحديد موضع النقطة من خلال بعدها عن محورين متعامدين متقاطعين عند نقطة تسمى الأصل.
النقاط: يتم تمثيل النقطة في الهندسة الإحداثية بزوج مرتب \((x, y)\) ، حيث \(x\) هي المسافة الأفقية من المحور y، و \(y\) هي المسافة العمودية من المحور السيني.
المسافة \(d\) بين نقطتين \((x_1, y_1)\) و \((x_2, y_2)\) في المستوى تعطى بالصيغة: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) هذه الصيغة مشتقة من نظرية فيثاغورس المطبقة على المثلث القائم الذي يتكون من الخط الذي يصل بين النقطتين وإسقاطات هذا الخط على المحور السيني والمحور الصادي.
يتم الحصول على نقطة المنتصف للقطعة المستقيمة التي تربط نقطتين \((x_1, y_1)\) و \((x_2, y_2)\) بالصيغة التالية: \( M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \) نقطة المنتصف هي النقطة التي تقسم القطعة المستقيمة إلى جزأين متساويين.
صيغة تقاطع الميل: معادلة الخط المستقيم في صيغة تقاطع الميل هي \(y = mx + b\) حيث \(m\) هو ميل الخط و \(b\) هو y -تقاطع. يمثل المنحدر \(m\) انحدار الخط ويتم حسابه على أنه التغير في y على التغير في x بين نقطتين على الخط.
صيغة نقطة الميل: شكل آخر من معادلة الخط هو صيغة نقطة الميل، وهي \(y - y_1 = m(x - x_1)\) حيث \((x_1, y_1)\) نقطة على الخط، و \(m\) هو ميل الخط.
معادلة الدائرة التي مركزها \((h, k)\) ونصف قطرها \(r\) يتم الحصول عليها بواسطة: \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \) تمثل هذه المعادلة جميع النقاط \((x, y)\) التي تبعد \(r\) عن المركز \((h, k)\) .
القطع المكافئ هو منحنى تكون فيه أي نقطة على مسافة متساوية من نقطة ثابتة تسمى البؤرة وخط ثابت يسمى الدليل. الصيغة القياسية لمعادلة القطع المكافئ المفتوح لأعلى أو لأسفل هي: \( y - k = a(x - h)^2 \) حيث \((h, k)\) هو رأس القطع المكافئ، و \(a\) هو المعامل الذي يحدد عرض واتجاه القطع المكافئ.
مثال 1: حساب المسافة بين النقطتين (2، 3) و (-1، -1). بتطبيق صيغة المسافة، لدينا: \( d = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
مثال 2: أوجد نقطة منتصف القطعة المستقيمة التي تربط النقطتين (6، 4) و(2، -2). باستخدام صيغة نقطة المنتصف، نحصل على: \( M = \left(\frac{6 + 2}{2}, \frac{4 - 2}{2}\right) = (4, 1) \)
مثال 3: اكتب معادلة الخط الذي ميله 2 ويمر بالنقطة (3، -1). باستخدام صيغة نقطة الميل، لدينا: \( y - (-1) = 2(x - 3) \) وبالتبسيط، نحصل على: \( y = 2x - 7 \)
لفهم الهندسة الإحداثية بشكل أكبر، من المفيد استخدام برامج الرسوم البيانية لتصور المعادلات والمفاهيم التي تمت مناقشتها. ومن خلال إدخال معادلات مختلفة، يمكن للمرء أن يرى كيف تؤثر القيم المتغيرة على شكل وموضع الأشكال الهندسية.
الهندسة الإحداثية هي أداة قوية تسمح لنا بالوصف الدقيق لموضع وخصائص الأشكال الهندسية في المستوى. فهو يربط بين الجبر والهندسة، ويوفر طريقة لتحليل وحل المشكلات الهندسية من خلال المعادلات الجبرية.
