স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, যা বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি নামেও পরিচিত, একটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা ব্যবহার করে জ্যামিতির অধ্যয়ন। এই পদ্ধতিটি বিন্দু, রেখা এবং বক্ররেখার অবস্থান বর্ণনা করতে বীজগণিত এবং জ্যামিতিকে একত্রিত করে।
স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা: স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা হল দুটি সংখ্যা ব্যবহার করে সমতলে একটি বিন্দুর অবস্থান সনাক্ত করার একটি পদ্ধতি, যাকে স্থানাঙ্ক বলা হয়। সবচেয়ে সাধারণ ব্যবস্থা হল কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা, যেখানে একটি বিন্দুর অবস্থান নির্ণয় করা হয় উৎপত্তি নামক একটি বিন্দুতে ছেদ করা দুটি লম্ব অক্ষ থেকে তার দূরত্ব দ্বারা।
বিন্দু: স্থানাঙ্ক জ্যামিতির একটি বিন্দু একটি ক্রমযুক্ত জোড়া দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় \((x, y)\) , যেখানে \(x\) হল y-অক্ষ থেকে অনুভূমিক দূরত্ব, এবং \(y\) হল থেকে উল্লম্ব দূরত্ব x-অক্ষ।
একটি সমতলে দুটি বিন্দু \ \(d\) \((x_1, y_1)\) এবং \((x_2, y_2)\) এর মধ্যে দূরত্ব সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) এই সূত্রটি পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য থেকে উদ্ভূত হয়েছে যা দুটি বিন্দুকে সংযোগকারী লাইন দ্বারা গঠিত সমকোণী ত্রিভুজে প্রয়োগ করা হয়েছে এবং x-অক্ষ এবং y-অক্ষের উপর এই রেখার অনুমান।
দুটি বিন্দু \((x_1, y_1)\) এবং \((x_2, y_2)\) সংযোগকারী রেখা খণ্ডের মধ্যবিন্দু নিম্নলিখিত সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়েছে: \( M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \) মধ্যবিন্দু হল সেই বিন্দু যা রেখার অংশটিকে দুটি সমান ভাগে ভাগ করে।
স্লোপ-ইন্টারসেপ্ট ফর্ম: ঢাল-ইন্টারসেপ্ট ফর্মের একটি সরল রেখার সমীকরণ হল \(y = mx + b\) , যেখানে \(m\) হল রেখার ঢাল এবং \(b\) হল y -পথিমধ্যে রোধ করা। ঢাল \(m\) রেখার খাড়াতা উপস্থাপন করে এবং রেখার দুটি বিন্দুর মধ্যে x-এর পরিবর্তনের উপর y-এর পরিবর্তন হিসাবে গণনা করা হয়।
বিন্দু-ঢাল ফর্ম: একটি রেখার সমীকরণের আরেকটি রূপ হল বিন্দু-ঢাল ফর্ম, যা \(y - y_1 = m(x - x_1)\) যেখানে \((x_1, y_1)\) একটি বিন্দু। লাইন, এবং \(m\) হল লাইনের ঢাল।
কেন্দ্র \((h, k)\) এবং ব্যাসার্ধ \(r\) সহ একটি বৃত্তের সমীকরণ দেওয়া হয়েছে: \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \) এই সমীকরণটি সমস্ত বিন্দু প্রতিনিধিত্ব করে যেগুলি \((x, y)\) কেন্দ্র থেকে দূরত্ব \(r\) \((h, k)\)
একটি প্যারাবোলা হল একটি বক্ররেখা যেখানে যেকোনো বিন্দু একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে সমান দূরত্বে থাকে যাকে ফোকাস বলা হয় এবং একটি স্থির রেখাকে বলা হয় ডাইরেক্টরিক্স। উপরের দিকে বা নিচের দিকে খোলা প্যারাবোলার সমীকরণের আদর্শ ফর্ম হল: \( y - k = a(x - h)^2 \) যেখানে \((h, k)\) হল প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দু, এবং \(a\) একটি সহগ যা প্যারাবোলার প্রস্থ এবং দিক নির্ধারণ করে।
উদাহরণ 1: পয়েন্ট (2, 3) এবং (-1, -1) এর মধ্যে দূরত্ব গণনা করুন। দূরত্ব সূত্র প্রয়োগ করে, আমাদের আছে: \( d = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
উদাহরণ 2: লাইন সেগমেন্টের সংযোগ বিন্দু (6, 4) এবং (2, -2) এর মধ্যবিন্দু খুঁজুন। মধ্যবিন্দু সূত্র ব্যবহার করে, আমরা পাই: \( M = \left(\frac{6 + 2}{2}, \frac{4 - 2}{2}\right) = (4, 1) \)
উদাহরণ 3: বিন্দু (3, -1) দিয়ে ঢাল 2 দিয়ে লাইনের সমীকরণ লিখুন। বিন্দু-ঢাল ফর্ম ব্যবহার করে, আমাদের আছে: \( y - (-1) = 2(x - 3) \) সরলীকরণ করে, আমরা পাই: \( y = 2x - 7 \)
সমন্বয় জ্যামিতি আরও বোঝার জন্য, আলোচিত সমীকরণ এবং ধারণাগুলি কল্পনা করতে গ্রাফিং সফ্টওয়্যার ব্যবহার করা সহায়ক। বিভিন্ন সমীকরণ ইনপুট করে, কেউ দেখতে পারে যে কীভাবে পরিবর্তিত মান জ্যামিতিক চিত্রগুলির আকৃতি এবং অবস্থানকে প্রভাবিত করে।
স্থানাঙ্ক জ্যামিতি একটি শক্তিশালী হাতিয়ার যা আমাদের একটি সমতলে জ্যামিতিক চিত্রগুলির অবস্থান এবং বৈশিষ্ট্যগুলিকে সুনির্দিষ্টভাবে বর্ণনা করতে দেয়। এটি বীজগণিত এবং জ্যামিতির মধ্যে সেতুবন্ধন করে, বীজগণিত সমীকরণের মাধ্যমে জ্যামিতিক সমস্যা বিশ্লেষণ ও সমাধান করার উপায় প্রদান করে।
