La geometría de coordenadas, también conocida como geometría analítica, es el estudio de la geometría utilizando un sistema de coordenadas. Este enfoque combina álgebra y geometría para describir la posición de puntos, líneas y curvas.
Sistema de coordenadas: el sistema de coordenadas es un método para identificar la posición de un punto en un plano mediante el uso de dos números, llamados coordenadas. El sistema más común es el sistema de coordenadas cartesiano, donde la posición de un punto está determinada por su distancia a dos ejes perpendiculares que se cruzan en un punto llamado origen.
Puntos: Un punto en geometría de coordenadas está representado por un par ordenado \((x, y)\) , donde \(x\) es la distancia horizontal desde el eje y, y \(y\) es la distancia vertical desde el eje x.
La distancia \(d\) entre dos puntos \((x_1, y_1)\) y \((x_2, y_2)\) en un plano está dada por la fórmula: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) Esta fórmula se deriva del teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo formado por la línea que conecta los dos puntos y las proyecciones de esta línea sobre el eje x y el eje y.
El punto medio del segmento de recta que conecta dos puntos \((x_1, y_1)\) y \((x_2, y_2)\) viene dado por la siguiente fórmula: \( M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \) El punto medio es el punto que divide el segmento de recta en dos partes iguales.
Forma pendiente-intersección: La ecuación de una línea recta en la forma pendiente-intersección es \(y = mx + b\) , donde \(m\) es la pendiente de la línea y \(b\) es la y -interceptar. La pendiente \(m\) representa la pendiente de la línea y se calcula como el cambio en y sobre el cambio en x entre dos puntos de la línea.
Forma punto-pendiente: Otra forma de la ecuación de una recta es la forma punto-pendiente, que es \(y - y_1 = m(x - x_1)\) donde \((x_1, y_1)\) es un punto en la recta, y \(m\) es la pendiente de la recta.
La ecuación de un círculo con centro \((h, k)\) y radio \(r\) viene dada por: \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \) Esta ecuación representa todos los puntos \((x, y)\) que están a una distancia \(r\) del centro \((h, k)\) .
Una parábola es una curva donde cualquier punto está a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una línea fija llamada directriz. La forma estándar de la ecuación de una parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo es: \( y - k = a(x - h)^2 \) Donde \((h, k)\) es el vértice de la parábola, y \(a\) es un coeficiente que determina el ancho y la dirección de la parábola.
Ejemplo 1: Calcular la distancia entre los puntos (2, 3) y (-1, -1). Al aplicar la fórmula de la distancia, tenemos: \( d = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
Ejemplo 2: Encuentre el punto medio del segmento de línea que conecta los puntos (6, 4) y (2, -2). Usando la fórmula del punto medio, obtenemos: \( M = \left(\frac{6 + 2}{2}, \frac{4 - 2}{2}\right) = (4, 1) \)
Ejemplo 3: Escribe la ecuación de la recta con pendiente 2 que pasa por el punto (3, -1). Usando la forma punto-pendiente, tenemos: \( y - (-1) = 2(x - 3) \) Simplificando, obtenemos: \( y = 2x - 7 \)
Para comprender mejor la geometría de coordenadas, es útil utilizar software de gráficos para visualizar las ecuaciones y los conceptos discutidos. Al ingresar diferentes ecuaciones, se puede ver cómo los valores cambiantes afectan la forma y posición de las figuras geométricas.
La geometría de coordenadas es una poderosa herramienta que nos permite describir con precisión la posición y características de figuras geométricas en un plano. Une el álgebra y la geometría, proporcionando una forma de analizar y resolver problemas geométricos mediante ecuaciones algebraicas.
