هندسه مختصات که به هندسه تحلیلی نیز معروف است، مطالعه هندسه با استفاده از یک سیستم مختصات است. این رویکرد جبر و هندسه را برای توصیف موقعیت نقاط، خطوط و منحنی ها ترکیب می کند.
سیستم مختصات: سیستم مختصات روشی برای شناسایی موقعیت یک نقطه در صفحه با استفاده از دو عدد است که مختصات نامیده می شود. رایج ترین سیستم، سیستم مختصات دکارتی است که موقعیت یک نقطه با فاصله آن از دو محور عمود بر هم در نقطه ای به نام مبدا تعیین می شود.
نقاط: یک نقطه در هندسه مختصات با یک جفت مرتب \((x, y)\) نشان داده می شود که \(x\) فاصله افقی از محور y و \(y\) فاصله عمودی از محور y است. محور x
فاصله \(d\) بین دو نقطه \((x_1, y_1)\) و \((x_2, y_2)\) در یک صفحه با فرمول بدست می آید: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) این فرمول از قضیه فیثاغورث اعمال شده بر مثلث قائم الزاویه تشکیل شده توسط خطی که دو نقطه را به هم وصل می کند و برآمدگی های این خط بر روی محور x و محور y ایجاد شده است.
نقطه وسط پاره خطی که دو نقطه \((x_1, y_1)\) و \((x_2, y_2)\) را به هم وصل می کند با فرمول زیر به دست می آید: \( M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \) نقطه میانی نقطه‌ای است که پاره خط را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند.
شکل شیب-فاصله: معادله یک خط مستقیم در شکل شیب-برق \(y = mx + b\) است که \(m\) شیب خط و \(b\) y است. رهگیری شیب \(m\) نشان دهنده شیب خط است و به عنوان تغییر y نسبت به تغییر x بین دو نقطه از خط محاسبه می شود.
شکل شیب نقطه: شکل دیگری از معادله یک خط، شکل شیب نقطه است که \(y - y_1 = m(x - x_1)\) است که در آن \((x_1, y_1)\) یک نقطه در خط، و \(m\) شیب خط است.
معادله یک دایره با مرکز \((h, k)\) و شعاع \(r\) به دست می آید: \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \) این معادله تمام نقاط \((x, y)\) را نشان می دهد که در فاصله \(r\) از مرکز \((h, k)\) قرار دارند.
سهمی منحنی است که در آن هر نقطه از یک نقطه ثابت به نام کانون و یک خط ثابت به نام مستقیم فاصله دارد. شکل استاندارد معادله یک سهمی که به سمت بالا یا پایین باز می شود این است: \( y - k = a(x - h)^2 \) جایی که \((h, k)\) راس سهمی است و \(a\) ضریبی است که عرض و جهت سهمی را تعیین می کند.
مثال 1: فاصله بین نقاط (2، 3) و (-1، -1) را محاسبه کنید. با اعمال فرمول فاصله، داریم: \( d = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
مثال 2: نقطه وسط پاره خط نقاط اتصال (6، 4) و (2، -2) را پیدا کنید. با استفاده از فرمول نقطه میانی، به دست می آوریم: \( M = \left(\frac{6 + 2}{2}, \frac{4 - 2}{2}\right) = (4, 1) \)
مثال 3: معادله خطی با شیب 2 که از نقطه (3، -1) می گذرد را بنویسید. با استفاده از شکل شیب نقطه، داریم: \( y - (-1) = 2(x - 3) \) با ساده سازی به دست می آوریم: \( y = 2x - 7 \)
برای درک بیشتر هندسه مختصات، استفاده از نرم افزار نمودارسازی برای تجسم معادلات و مفاهیم مورد بحث مفید است. با وارد کردن معادلات مختلف، می توان دریافت که چگونه تغییر مقادیر بر شکل و موقعیت شکل های هندسی تأثیر می گذارد.
هندسه مختصات ابزار قدرتمندی است که به ما امکان می دهد موقعیت و ویژگی های اشکال هندسی را در یک صفحه به طور دقیق توصیف کنیم. این جبر و هندسه را پل می کند و راهی برای تجزیه و تحلیل و حل مسائل هندسی از طریق معادلات جبری ارائه می دهد.
