La géométrie coordonnée, également connue sous le nom de géométrie analytique, est l'étude de la géométrie à l'aide d'un système de coordonnées. Cette approche combine l'algèbre et la géométrie pour décrire la position des points, des lignes et des courbes.
Système de coordonnées : Le système de coordonnées est une méthode permettant d'identifier la position d'un point dans un plan en utilisant deux nombres, appelés coordonnées. Le système le plus courant est le système de coordonnées cartésiennes, dans lequel la position d'un point est déterminée par sa distance par rapport à deux axes perpendiculaires se coupant en un point appelé origine.
Points : un point dans la géométrie des coordonnées est représenté par une paire ordonnée \((x, y)\) , où \(x\) est la distance horizontale à partir de l'axe y et \(y\) est la distance verticale à partir de l'axe des x.
La distance \(d\) entre deux points \((x_1, y_1)\) et \((x_2, y_2)\) dans un plan est donnée par la formule : \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) Cette formule est dérivée du théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle formé par la ligne reliant les deux points et les projections de cette ligne sur l'axe des x et l'axe des y.
Le milieu du segment de droite reliant deux points \((x_1, y_1)\) et \((x_2, y_2)\) est donné par la formule suivante : \( M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \) Le milieu est le point qui divise le segment de droite en deux parties égales.
Forme d'intersection de pente : L'équation d'une ligne droite sous la forme d'intersection de pente est \(y = mx + b\) , où \(m\) est la pente de la ligne et \(b\) est le y -intercepter. La pente \(m\) représente la pente de la ligne et est calculée comme la variation de y par rapport à la variation de x entre deux points de la ligne.
Forme point-pente : Une autre forme de l'équation d'une ligne est la forme point-pente, qui est \(y - y_1 = m(x - x_1)\) où \((x_1, y_1)\) est un point sur la ligne, et \(m\) est la pente de la ligne.
L'équation d'un cercle de centre \((h, k)\) et de rayon \(r\) est donnée par : \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \) Cette équation représente tous les points \((x, y)\) qui sont à une distance \(r\) du centre \((h, k)\) .
Une parabole est une courbe où tout point est à égale distance d’un point fixe appelé foyer et d’une ligne fixe appelée directrice. La forme standard de l'équation d'une parabole s'ouvrant vers le haut ou vers le bas est : \( y - k = a(x - h)^2 \) Où \((h, k)\) est le sommet de la parabole, et \(a\) est un coefficient qui détermine la largeur et la direction de la parabole.
Exemple 1 : Calculez la distance entre les points (2, 3) et (-1, -1). En appliquant la formule de distance, nous avons : \( d = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
Exemple 2 : Trouvez le milieu du segment de droite reliant les points (6, 4) et (2, -2). En utilisant la formule du point médian, nous obtenons : \( M = \left(\frac{6 + 2}{2}, \frac{4 - 2}{2}\right) = (4, 1) \)
Exemple 3 : Écrire l'équation de la droite de pente 2 passant par le point (3, -1). En utilisant la forme point-pente, on a : \( y - (-1) = 2(x - 3) \) En simplifiant, on obtient : \( y = 2x - 7 \)
Pour mieux comprendre la géométrie des coordonnées, il est utile d'utiliser un logiciel graphique pour visualiser les équations et les concepts abordés. En saisissant différentes équations, on peut voir comment les valeurs changeantes affectent la forme et la position des figures géométriques.
La géométrie des coordonnées est un outil puissant qui nous permet de décrire avec précision la position et les caractéristiques des figures géométriques dans un plan. Il relie l'algèbre et la géométrie, offrant un moyen d'analyser et de résoudre des problèmes géométriques à l'aide d'équations algébriques.
