निर्देशांक ज्यामिति, जिसे विश्लेषणात्मक ज्यामिति के रूप में भी जाना जाता है, एक निर्देशांक प्रणाली का उपयोग करके ज्यामिति का अध्ययन है। यह दृष्टिकोण बिंदुओं, रेखाओं और वक्रों की स्थिति का वर्णन करने के लिए बीजगणित और ज्यामिति को जोड़ता है।
निर्देशांक प्रणाली: निर्देशांक प्रणाली एक ऐसी विधि है जिसके द्वारा समतल में किसी बिंदु की स्थिति को दो संख्याओं का उपयोग करके पहचाना जाता है, जिन्हें निर्देशांक कहते हैं। सबसे आम प्रणाली कार्तीय निर्देशांक प्रणाली है, जहाँ किसी बिंदु की स्थिति मूल बिंदु पर प्रतिच्छेद करने वाली दो लंबवत अक्षों से उसकी दूरी से निर्धारित होती है।
बिंदु: निर्देशांक ज्यामिति में एक बिंदु को एक क्रमित युग्म \((x, y)\) द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ \(x\) y-अक्ष से क्षैतिज दूरी है, और \(y\) x-अक्ष से ऊर्ध्वाधर दूरी है।
एक समतल में दो बिंदुओं \((x_1, y_1)\) और \((x_2, y_2)\) के बीच की दूरी \(d\) सूत्र द्वारा दी गई है: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) यह सूत्र पाइथागोरस प्रमेय से प्राप्त होता है जो दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा और x-अक्ष और y-अक्ष पर इस रेखा के प्रक्षेपणों द्वारा गठित समकोण त्रिभुज पर लागू होता है।
दो बिंदुओं \((x_1, y_1)\) और \((x_2, y_2)\) को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्यबिंदु निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: \( M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \) मध्यबिंदु वह बिंदु है जो रेखाखंड को दो बराबर भागों में विभाजित करता है।
ढलान-अवरोधन रूप: ढलान-अवरोधन रूप में एक सीधी रेखा का समीकरण \(y = mx + b\) है, जहाँ \(m\) रेखा का ढलान है, और \(b\) y-अवरोधन है। ढलान \(m\) रेखा की ढलान को दर्शाता है और रेखा पर दो बिंदुओं के बीच x में परिवर्तन पर y में परिवर्तन के रूप में गणना की जाती है।
बिंदु-ढलान रूप: रेखा के समीकरण का दूसरा रूप बिंदु-ढलान रूप है, जो \(y - y_1 = m(x - x_1)\) है, जहाँ \((x_1, y_1)\) रेखा पर एक बिंदु है, और \(m\) रेखा का ढलान है।
केंद्र \((h, k)\) और त्रिज्या \(r\) वाले वृत्त का समीकरण इस प्रकार दिया गया है: \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \) यह समीकरण उन सभी बिंदुओं \((x, y)\) को दर्शाता है जो केंद्र \((h, k)\) से \(r\) ) की दूरी पर हैं।
परवलय एक वक्र है जहाँ कोई भी बिंदु फ़ोकस नामक एक निश्चित बिंदु और डायरेक्ट्रिक्स नामक एक निश्चित रेखा से समान दूरी पर होता है। ऊपर या नीचे खुलने वाले परवलय के समीकरण का मानक रूप है: \( y - k = a(x - h)^2 \) जहाँ \((h, k)\) परवलय का शीर्ष है, और \(a\) एक गुणांक है जो परवलय की चौड़ाई और दिशा निर्धारित करता है।
उदाहरण 1: बिंदुओं (2, 3) और (-1, -1) के बीच की दूरी की गणना करें। दूरी सूत्र लागू करने पर, हमारे पास है: \( d = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
उदाहरण 2: बिंदुओं (6, 4) और (2, -2) को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्यबिंदु ज्ञात करें। मध्यबिंदु सूत्र का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं: \( M = \left(\frac{6 + 2}{2}, \frac{4 - 2}{2}\right) = (4, 1) \)
उदाहरण 3: बिंदु (3, -1) से गुजरने वाली ढलान 2 वाली रेखा का समीकरण लिखें। बिंदु-ढाल रूप का उपयोग करते हुए, हमारे पास है: \( y - (-1) = 2(x - 3) \) सरलीकरण करने पर, हमें प्राप्त होता है: \( y = 2x - 7 \)
निर्देशांक ज्यामिति को और अधिक समझने के लिए, चर्चा किए गए समीकरणों और अवधारणाओं को देखने के लिए ग्राफ़िंग सॉफ़्टवेयर का उपयोग करना सहायक होता है। विभिन्न समीकरणों को इनपुट करके, कोई यह देख सकता है कि बदलते मान ज्यामितीय आकृतियों के आकार और स्थिति को कैसे प्रभावित करते हैं।
निर्देशांक ज्यामिति एक शक्तिशाली उपकरण है जो हमें समतल में ज्यामितीय आकृतियों की स्थिति और विशेषताओं का सटीक वर्णन करने की अनुमति देता है। यह बीजगणित और ज्यामिति को जोड़ता है, बीजगणितीय समीकरणों के माध्यम से ज्यामितीय समस्याओं का विश्लेषण और समाधान करने का एक तरीका प्रदान करता है।
