Koordinatna geometrija, također poznata kao analitička geometrija, proučavanje je geometrije pomoću koordinatnog sustava. Ovaj pristup kombinira algebru i geometriju za opisivanje položaja točaka, linija i krivulja.
Koordinatni sustav: Koordinatni sustav je metoda za određivanje položaja točke u ravnini pomoću dva broja, koji se nazivaju koordinate. Najčešći sustav je Kartezijev koordinatni sustav, gdje je položaj točke određen njezinom udaljenošću od dviju okomitih osi koje se sijeku u točki koja se naziva ishodištem.
Točke: Točka u koordinatnoj geometriji predstavljena je uređenim parom \((x, y)\) , gdje je \(x\) vodoravna udaljenost od y-osi, a \(y\) okomita udaljenost od x-os.
Udaljenost \(d\) između dvije točke \((x_1, y_1)\) i \((x_2, y_2)\) u ravnini dana je formulom: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) Ova je formula izvedena iz Pitagorinog poučka primijenjenog na pravokutni trokut koji čine pravac koji povezuje dvije točke i projekcije tog pravca na x-os i y-os.
Središte segmenta pravca koji povezuje dvije točke \((x_1, y_1)\) i \((x_2, y_2)\) dana je sljedećom formulom: \( M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \) Središte je točka koja dijeli dužinu na dva jednaka dijela.
Obrazac presjeka nagiba: Jednadžba ravne linije u obliku presjeka nagiba je \(y = mx + b\) , gdje je \(m\) nagib pravca, a \(b\) y -presretanje. Nagib \(m\) predstavlja strminu linije i izračunava se kao promjena u y u odnosu na promjenu x između dvije točke na liniji.
Oblik točkastog nagiba: Drugi oblik jednadžbe linije je oblik točkastog nagiba, koji je \(y - y_1 = m(x - x_1)\) gdje je \((x_1, y_1)\) točka na linija, a \(m\) je nagib linije.
Jednadžba kruga sa središtem \((h, k)\) i polumjerom \(r\) dana je s: \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \) Ova jednadžba predstavlja sve točke \((x, y)\) koje su udaljene \(r\) od središta \((h, k)\) .
Parabola je krivulja gdje je bilo koja točka na jednakoj udaljenosti od fiksne točke koja se naziva žarište i fiksne linije koja se naziva direktrisa. Standardni oblik jednadžbe parabole koja se otvara prema gore ili prema dolje je: \( y - k = a(x - h)^2 \) Gdje je \((h, k)\) vrh parabole, a \(a\) je koeficijent koji određuje širinu i smjer parabole.
Primjer 1: Izračunajte udaljenost između točaka (2, 3) i (-1, -1). Primjenom formule udaljenosti imamo: \( d = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
Primjer 2: Pronađite središte odsječka koji spaja točke (6, 4) i (2, -2). Koristeći formulu središnje točke, dobivamo: \( M = \left(\frac{6 + 2}{2}, \frac{4 - 2}{2}\right) = (4, 1) \)
Primjer 3: Napišite jednadžbu pravca s nagibom 2 koji prolazi kroz točku (3, -1). Koristeći oblik točkastog nagiba, imamo: \( y - (-1) = 2(x - 3) \) Pojednostavljeno, dobivamo: \( y = 2x - 7 \)
Za daljnje razumijevanje koordinatne geometrije, korisno je koristiti softver za crtanje grafikona za vizualizaciju jednadžbi i koncepata o kojima se govori. Unosom različitih jednadžbi može se vidjeti kako promjene vrijednosti utječu na oblik i položaj geometrijskih likova.
Koordinatna geometrija moćan je alat koji nam omogućuje precizno opisivanje položaja i karakteristika geometrijskih likova u ravnini. Premošćuje algebru i geometriju, pružajući način za analizu i rješavanje geometrijskih problema putem algebarskih jednadžbi.
