Geometri koordinat, juga dikenal sebagai geometri analitik, adalah studi tentang geometri dengan menggunakan sistem koordinat. Pendekatan ini menggabungkan aljabar dan geometri untuk menggambarkan posisi titik, garis, dan kurva.
Sistem Koordinat: Sistem koordinat adalah suatu cara untuk mengidentifikasi posisi suatu titik pada suatu bidang dengan menggunakan dua angka yang disebut koordinat. Sistem yang paling umum adalah sistem koordinat kartesius, dimana posisi suatu titik ditentukan oleh jaraknya dari dua sumbu tegak lurus yang berpotongan di suatu titik yang disebut titik asal.
Poin: Suatu titik dalam geometri koordinat diwakili oleh pasangan terurut \((x, y)\) , dengan \(x\) adalah jarak horizontal dari sumbu y, dan \(y\) adalah jarak vertikal dari sumbu x.
Jarak \(d\) antara dua titik \((x_1, y_1)\) dan \((x_2, y_2)\) pada suatu bidang diberikan dengan rumus: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) Rumus ini diturunkan dari teorema Pythagoras yang diterapkan pada segitiga siku-siku yang dibentuk oleh garis yang menghubungkan dua titik dan proyeksi garis tersebut pada sumbu x dan sumbu y.
Titik tengah ruas garis yang menghubungkan dua titik \((x_1, y_1)\) dan \((x_2, y_2)\) diberikan dengan rumus berikut: \( M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \) Titik tengah adalah titik yang membagi ruas garis menjadi dua bagian yang sama besar.
Bentuk Perpotongan Lereng: Persamaan garis lurus berbentuk perpotongan lereng adalah \(y = mx + b\) , dengan \(m\) adalah kemiringan garis, dan \(b\) adalah y -mencegat. Kemiringan \(m\) mewakili kecuraman garis dan dihitung sebagai perubahan y terhadap perubahan x antara dua titik pada garis.
Bentuk Kemiringan Titik: Bentuk persamaan garis lainnya adalah bentuk kemiringan titik, yaitu \(y - y_1 = m(x - x_1)\) dimana \((x_1, y_1)\) adalah sebuah titik di garis, dan \(m\) adalah kemiringan garis.
Persamaan lingkaran dengan pusat \((h, k)\) dan jari-jari \(r\) diberikan oleh: \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \) Persamaan ini mewakili semua titik \((x, y)\) yang berjarak \(r\) dari pusat \((h, k)\) .
Parabola adalah kurva yang setiap titiknya berada pada jarak yang sama terhadap titik tetap yang disebut fokus dan garis tetap yang disebut direktriks. Bentuk baku persamaan parabola yang membuka ke atas atau ke bawah adalah: \( y - k = a(x - h)^2 \) Dimana \((h, k)\) adalah titik puncak parabola, dan \(a\) adalah koefisien yang menentukan lebar dan arah parabola.
Contoh 1: Hitung jarak antara titik (2, 3) dan (-1, -1). Dengan menerapkan rumus jarak, kita mendapatkan: \( d = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
Contoh 2: Tentukan titik tengah ruas garis yang menghubungkan titik (6, 4) dan (2, -2). Dengan menggunakan rumus titik tengah, kita mendapatkan: \( M = \left(\frac{6 + 2}{2}, \frac{4 - 2}{2}\right) = (4, 1) \)
Contoh 3: Tuliskan persamaan garis dengan kemiringan 2 yang melalui titik (3, -1). Dengan menggunakan bentuk kemiringan titik, kita memperoleh: \( y - (-1) = 2(x - 3) \) Sederhananya, kita memperoleh: \( y = 2x - 7 \)
Untuk lebih memahami geometri koordinat, akan berguna jika menggunakan perangkat lunak grafik untuk memvisualisasikan persamaan dan konsep yang dibahas. Dengan memasukkan persamaan yang berbeda, kita dapat melihat bagaimana perubahan nilai mempengaruhi bentuk dan posisi bangun geometri.
Geometri koordinat adalah alat yang ampuh yang memungkinkan kita mendeskripsikan secara tepat posisi dan karakteristik bangun geometri pada suatu bidang. Ini menjembatani aljabar dan geometri, menyediakan cara untuk menganalisis dan memecahkan masalah geometri melalui persamaan aljabar.
