座標幾何学は解析幾何学とも呼ばれ、座標系を使用した幾何学の研究です。このアプローチでは、代数と幾何学を組み合わせて、点、線、曲線の位置を記述します。
座標系:座標系は、座標と呼ばれる 2 つの数値を使用して平面上の点の位置を識別する方法です。最も一般的なシステムは直交座標系で、点の位置は原点と呼ばれる点で交差する 2 つの垂直軸からの距離によって決まります。
点:座標幾何学における点は、順序付けられたペア\((x, y)\)で表されます。ここで、 \(x\)は y 軸からの水平距離、 \(y\) x 軸からの垂直距離です。
平面上の 2 点\((x_1, y_1)\)と\((x_2, y_2)\)間の距離\(d\)は、次の式で表されます: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)この式は、2 点を結ぶ線と、この線の x 軸と y 軸への投影によって形成される直角三角形に適用されるピタゴラスの定理から導き出されます。
2 点\((x_1, y_1)\)と\((x_2, y_2)\)を結ぶ線分の中点は、次の式で表されます: \( M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \)中点は、線分を 2 つの等しい部分に分割する点です。
傾き-切片形式:傾き-切片形式の直線の方程式は\(y = mx + b\)です。ここで\(m\)は直線の傾き、 \(b\)は y 切片です。傾き\(m\)は直線の傾きを表し、直線上の 2 点間の y の変化を x の変化で割った値として計算されます。
点-傾き形式:直線の方程式の別の形式は点-傾き形式で、 \(y - y_1 = m(x - x_1)\)です。ここで、 \((x_1, y_1)\)は直線上の点、 \(m\)直線の傾きです。
中心\((h, k)\)と半径\(r\)を持つ円の方程式は次のように表されます: \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)この方程式は、中心\((h, k)\)から距離\(r\)にあるすべての点\((x, y)\)を表します。
放物線は、任意の点が焦点と呼ばれる固定点と準線と呼ばれる固定線から等距離にある曲線です。上向きまたは下向きに開いている放物線の方程式の標準形式は、 \( y - k = a(x - h)^2 \)です。ここで、 \((h, k)\)放物線の頂点、 \(a\)放物線の幅と方向を決定する係数です。
例 1: 点 (2, 3) と点 (-1, -1) の間の距離を計算します。距離の公式を適用すると、次のようになります: \( d = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
例 2: 点 (6, 4) と点 (2, -2) を結ぶ線分の中点を求めます。中点の公式を使用すると、次のようになります: \( M = \left(\frac{6 + 2}{2}, \frac{4 - 2}{2}\right) = (4, 1) \)
例 3: 点 (3, -1) を通る傾き 2 の直線の方程式を書きます。点-傾き形式を使用すると、次の式が得られます: \( y - (-1) = 2(x - 3) \)簡略化すると、次の式が得られます: \( y = 2x - 7 \)
座標幾何学をさらに理解するには、グラフ作成ソフトウェアを使用して、説明した方程式や概念を視覚化すると役立ちます。さまざまな方程式を入力すると、値の変化が幾何学図形の形状と位置にどのように影響するかを確認できます。
座標幾何学は、平面上の幾何学的図形の位置と特性を正確に記述できる強力なツールです。座標幾何学は代数と幾何学を橋渡しし、代数方程式を通じて幾何学の問題を分析および解決する方法を提供します。
