Координативната геометрија, позната и како аналитичка геометрија, е проучување на геометријата со помош на координатен систем. Овој пристап ги комбинира алгебрата и геометријата за да ја опише позицијата на точките, линиите и кривите.
Координатен систем: Координатниот систем е метод за идентификување на позицијата на точка во рамнина со користење на два броја, наречени координати. Најчестиот систем е Декартовиот координатен систем, каде што положбата на точката се определува со нејзиното растојание од две нормални оски што се сечат во точка наречена почеток.
Точки: Точка во координатната геометрија е претставена со подреден пар \((x, y)\) , каде што \(x\) е хоризонталното растојание од y-оската и \(y\) е вертикалното растојание од х-оската.
Растојанието \(d\) помеѓу две точки \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) во рамнина е дадено со формулата: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) Оваа формула е изведена од Питагоровата теорема применета на правоаголен триаголник формиран од правата што ги поврзува двете точки и проекциите на оваа права на оската x и y-оската.
Средината на отсечката што поврзува две точки \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) е дадена со следнава формула: \( M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \) Средната точка е точката што ја дели отсечката на два еднакви дела.
Форма на наклон-пресек: Равенката на права линија во формата на наклон-пресек е \(y = mx + b\) , каде што \(m\) е наклонот на правата, а \(b\) е y -пресретнете. Наклонот \(m\) ја претставува стрмнината на правата и се пресметува како промена во y над промената во x помеѓу две точки на правата.
Форма со наклон на точка: Друга форма на равенката на правата е формата со наклон на точка, која е \(y - y_1 = m(x - x_1)\) каде што \((x_1, y_1)\) е точка на линијата, и \(m\) е наклонот на линијата.
Равенката на круг со центар \((h, k)\) и радиус \(r\) е дадена со: \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \) Оваа равенка ги претставува сите точки \((x, y)\) кои се на растојание \(r\) од центарот \((h, k)\) .
Параболата е крива каде која било точка е на еднакво растојание од фиксна точка наречена фокус и фиксна линија наречена директрикс. Стандардна форма на равенката на параболата што се отвора нагоре или надолу е: \( y - k = a(x - h)^2 \) Каде \((h, k)\) е темето на параболата, и \(a\) е коефициент кој ја одредува ширината и насоката на параболата.
Пример 1: Пресметај го растојанието помеѓу точките (2, 3) и (-1, -1). Со примена на формулата за растојание, имаме: \( d = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
Пример 2: Најдете ја средната точка на отсечката што ги поврзува точките (6, 4) и (2, -2). Користејќи ја формулата за средна точка, добиваме: \( M = \left(\frac{6 + 2}{2}, \frac{4 - 2}{2}\right) = (4, 1) \)
Пример 3: Напишете ја равенката на правата со наклон 2 што минува низ точката (3, -1). Користејќи ја формата точка-наклон, имаме: \( y - (-1) = 2(x - 3) \) Со поедноставување, добиваме: \( y = 2x - 7 \)
За понатамошно разбирање на геометријата на координатите, корисно е да се користи графички софтвер за да се визуелизираат дискутираните равенки и концепти. Со внесување на различни равенки, може да се види како промената на вредностите влијае на обликот и положбата на геометриските фигури.
Геометријата на координати е моќна алатка која ни овозможува прецизно да ја опишеме положбата и карактеристиките на геометриските фигури во рамнината. Ги премостува алгебрата и геометријата, обезбедувајќи начин за анализа и решавање на геометриски проблеми преку алгебарски равенки.
