Аналитик геометр гэж нэрлэгддэг координатын геометр нь координатын системийг ашиглан геометрийн судалгаа юм. Энэ арга нь алгебр, геометрийг хослуулан цэг, шугам, муруйн байрлалыг дүрсэлдэг.
Координатын систем: Координат гэж нэрлэгддэг хоёр тоог ашиглан хавтгай дахь цэгийн байрлалыг тодорхойлох арга юм. Хамгийн түгээмэл систем бол декартын координатын систем бөгөөд цэгийн байрлалыг эх гэж нэрлэгддэг цэг дээр огтлолцох хоёр перпендикуляр тэнхлэгээс хол зайд нь тодорхойлдог.
Цэгүүд: Координатын геометрийн цэгийг эрэмбэлэгдсэн хосоор илэрхийлдэг \((x, y)\) , энд \(x\) нь у тэнхлэгээс хэвтээ зай, \(y\) нь тэнхлэгээс босоо зай юм. x тэнхлэг.
\((x_1, y_1)\) ба \((x_2, y_2)\) хоёр цэгийн хоорондох \(d\) зайг дараах томъёогоор тодорхойлно: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) Энэхүү томьёо нь хоёр цэгийг холбосон шулуунаас үүссэн тэгш өнцөгт гурвалжинд хэрэглэсэн Пифагорын теоремоос болон энэ шугамын х тэнхлэг ба у тэнхлэг дээрх проекцуудаас гаралтай.
\((x_1, y_1)\) ба \((x_2, y_2)\) хоёр цэгийг холбосон шугамын сегментийн дунд цэгийг дараах томъёогоор тодорхойлно: \( M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \) Дунд цэг нь шулууны сегментийг хоёр тэнцүү хэсэгт хуваах цэг юм.
Налуу огтлолцлын хэлбэр: Налуу огтлолцох хэлбэрийн шулуун шугамын тэгшитгэл нь \(y = mx + b\) , энд \(m\) нь шугамын налуу, \(b\) нь y байна. - таслах. Налуу \(m\) шугамын эгц байдлыг илэрхийлэх ба шугамын хоёр цэгийн хоорондох x-ийн өөрчлөлтөөс у-ийн өөрчлөлтөөр тооцогдоно.
Цэг-налуу хэлбэр: Шугамын тэгшитгэлийн өөр нэг хэлбэр нь цэгийн налуу хэлбэр бөгөөд \(y - y_1 = m(x - x_1)\) бөгөөд \((x_1, y_1)\) нь дээрх цэг юм. шугам, \(m\) нь шугамын налуу юм.
\((h, k)\) төвтэй, \(r\) радиустай тойргийн тэгшитгэлийг: \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \) Энэ тэгшитгэл нь төвөөс \(r\) \((x, y)\) \((h, k)\) .
Парабол гэдэг нь дурын цэг нь фокус гэж нэрлэгддэг тогтмол цэг ба директрикс гэж нэрлэгддэг тогтмол шугамаас ижил зайд байрлах муруй юм. Дээш эсвэл доош нээгдэх параболын тэгшитгэлийн стандарт хэлбэр нь: \( y - k = a(x - h)^2 \) Энд \((h, k)\) нь параболын орой ба \(a\) нь параболын өргөн ба чиглэлийг тодорхойлох коэффициент юм.
Жишээ 1: (2, 3) ба (-1, -1) цэгүүдийн хоорондох зайг тооцоол. Зайны томъёог хэрэглэснээр бид: \( d = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
Жишээ 2: (6, 4) ба (2, -2) цэгүүдийг холбосон шулууны сегментийн дунд цэгийг ол. Дунд цэгийн томьёог ашиглан бид дараахыг авна: \( M = \left(\frac{6 + 2}{2}, \frac{4 - 2}{2}\right) = (4, 1) \)
Жишээ 3: (3, -1) цэгийг дайран өнгөрөх 2-р налуутай шулууны тэгшитгэлийг бич. Цэг налуу хэлбэрийг ашиглан бид: \( y - (-1) = 2(x - 3) \) Хялбаршуулж, бид олж авна: \( y = 2x - 7 \)
Координатын геометрийг илүү сайн ойлгохын тулд ярилцсан тэгшитгэл, ойлголтыг дүрслэн харуулахын тулд график програм хангамжийг ашиглах нь тустай. Өөр өөр тэгшитгэл оруулснаар өөрчлөгдөж буй утгууд нь геометрийн дүрсийн хэлбэр, байрлалд хэрхэн нөлөөлж байгааг харж болно.
Координатын геометр нь хавтгай дээрх геометрийн дүрсүүдийн байрлал, шинж чанарыг нарийн тодорхойлох боломжийг олгодог хүчирхэг хэрэгсэл юм. Энэ нь алгебр, геометрийн хооронд гүүр болж, алгебрийн тэгшитгэлээр дамжуулан геометрийн асуудлыг шинжлэх, шийдвэрлэх арга замыг бий болгодог.
