समन्वय ज्यामिति, जसलाई विश्लेषणात्मक ज्यामिति पनि भनिन्छ, समन्वय प्रणाली प्रयोग गरेर ज्यामितिको अध्ययन हो। यो दृष्टिकोणले बिन्दुहरू, रेखाहरू र वक्रहरूको स्थिति वर्णन गर्न बीजगणित र ज्यामितिलाई जोड्दछ।
समन्वय प्रणाली: समन्वय प्रणाली दुई संख्याहरू प्रयोग गरेर विमानमा बिन्दुको स्थिति पहिचान गर्ने विधि हो, जसलाई निर्देशांक भनिन्छ। सबैभन्दा सामान्य प्रणाली कार्टेजियन समन्वय प्रणाली हो, जहाँ एक बिन्दुको स्थिति उत्पत्ति भनिने बिन्दुमा छेउछाउ दुई लम्बवत अक्षहरूबाट यसको दूरी द्वारा निर्धारण गरिन्छ।
बिन्दुहरू: समन्वय ज्यामितिमा एउटा बिन्दुलाई क्रमबद्ध जोडी \((x, y)\) द्वारा प्रतिनिधित्व गरिन्छ, जहाँ \(x\) y-अक्षबाट तेर्सो दूरी हो, र \(y\) बाट ठाडो दूरी हो। x-अक्ष।
विमानमा दुई बिन्दुहरू \((x_1, y_1)\) र \((x_2, y_2)\) बीचको दूरी \(d\) सूत्रद्वारा दिइएको छ: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) यो सूत्र x-axis र y-axis मा दुई बिन्दुहरू र यस रेखाको अनुमानहरू जोड्ने रेखाद्वारा बनेको दायाँ त्रिकोणमा लागू गरिएको पाइथागोरस प्रमेयबाट व्युत्पन्न भएको हो।
दुई बिन्दुहरू \((x_1, y_1)\) र \((x_2, y_2)\) जोड्ने रेखा खण्डको मध्यबिन्दु निम्न सूत्रद्वारा दिइएको छ: \( M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \) मध्यबिन्दु भनेको रेखा खण्डलाई दुई बराबर भागमा विभाजन गर्ने बिन्दु हो।
ढलान-अवरोध फारम: ढलान-अवरोध फारममा सीधा रेखाको समीकरण \(y = mx + b\) हो, जहाँ \(m\) रेखाको ढलान हो, र \(b\) y हो। - अवरोध। ढलान \(m\) रेखाको ठाडोपनलाई प्रतिनिधित्व गर्दछ र रेखामा दुई बिन्दुहरू बीचको x मा परिवर्तनमा y मा परिवर्तनको रूपमा गणना गरिन्छ।
बिन्दु-स्लोप फारम: रेखाको समीकरणको अर्को रूप बिन्दु-ढलान फारम हो, जुन \(y - y_1 = m(x - x_1)\) जहाँ \((x_1, y_1)\) बिन्दु हो। रेखा, र \(m\) रेखाको ढलान हो।
केन्द्र \((h, k)\) र त्रिज्या \(r\) भएको वृत्तको समीकरण यसद्वारा दिइएको छ: \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \) यो समीकरणले सबै बिन्दुहरू प्रतिनिधित्व गर्दछ \((x, y)\) जुन दूरी \(r\) केन्द्रबाट \((h, k)\) छन्।
प्याराबोला एक वक्र हो जहाँ कुनै पनि बिन्दु एक निश्चित बिन्दुबाट समान दूरीमा हुन्छ फोकस भनिन्छ र एक निश्चित रेखालाई डाइरेक्टिक्स भनिन्छ। माथि वा तलतिर खोल्ने पराबोलाको समीकरणको मानक रूप हो: \( y - k = a(x - h)^2 \) जहाँ \((h, k)\) प्याराबोलाको शीर्ष हो, र \(a\) parabola को चौडाइ र दिशा निर्धारण गर्ने गुणांक हो।
उदाहरण १: बिन्दुहरू (2, 3) र (-1, -1) बीचको दूरी गणना गर्नुहोस्। दूरी सूत्र लागू गरेर, हामीसँग छ: \( d = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
उदाहरण २: रेखा खण्ड जडान गर्ने बिन्दुहरू (६, ४) र (२, -२) को मध्यबिन्दु पत्ता लगाउनुहोस्। मध्यबिन्दु सूत्र प्रयोग गरेर, हामीले प्राप्त गर्छौं: \( M = \left(\frac{6 + 2}{2}, \frac{4 - 2}{2}\right) = (4, 1) \)
उदाहरण 3: बिन्दु (3, -1) बाट गुजरने ढलान 2 को साथ रेखाको समीकरण लेख्नुहोस्। बिन्दु-स्लोप फारम प्रयोग गरेर, हामीसँग छ: \( y - (-1) = 2(x - 3) \) सरलीकरण गर्दै, हामीले प्राप्त गर्छौं: \( y = 2x - 7 \)
समन्वय ज्यामितिलाई थप बुझ्नको लागि, छलफल गरिएका समीकरणहरू र अवधारणाहरू कल्पना गर्न ग्राफिङ सफ्टवेयर प्रयोग गर्न उपयोगी छ। विभिन्न समीकरणहरू इनपुट गरेर, एकले देख्न सक्छ कि परिवर्तनशील मानहरूले ज्यामितीय आकृतिहरूको आकार र स्थितिलाई कसरी असर गर्छ।
समन्वय ज्यामिति एक शक्तिशाली उपकरण हो जसले हामीलाई विमानमा ज्यामितीय आकृतिहरूको स्थिति र विशेषताहरू ठीकसँग वर्णन गर्न अनुमति दिन्छ। यसले बीजगणित र ज्यामितिलाई जोड्छ, बीजगणितीय समीकरणहरू मार्फत ज्यामितीय समस्याहरूको विश्लेषण र समाधान गर्ने तरिका प्रदान गर्दछ।
