Geometria współrzędnych, znana również jako geometria analityczna, to badanie geometrii za pomocą układu współrzędnych. Podejście to łączy algebrę i geometrię w celu opisania położenia punktów, linii i krzywych.
Układ współrzędnych: Układ współrzędnych to metoda identyfikacji położenia punktu na płaszczyźnie za pomocą dwóch liczb, zwanych współrzędnymi. Najpopularniejszym systemem jest kartezjański układ współrzędnych, w którym położenie punktu określa się na podstawie jego odległości od dwóch prostopadłych osi przecinających się w punkcie zwanym początkiem.
Punkty: Punkt w geometrii współrzędnych jest reprezentowany przez uporządkowaną parę \((x, y)\) , gdzie \(x\) to odległość pozioma od osi y, a \(y\) to odległość pionowa od oś x.
Odległość \(d\) pomiędzy dwoma punktami \((x_1, y_1)\) i \((x_2, y_2)\) na płaszczyźnie wyraża się wzorem: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) Wzór ten wywodzi się z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta prostokątnego utworzonego przez linię łączącą dwa punkty i rzuty tej linii na oś x i oś y.
Środek odcinka łączącego dwa punkty \((x_1, y_1)\) i \((x_2, y_2)\) wyznacza się za pomocą następującego wzoru: \( M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \) Środek to punkt dzielący odcinek na dwie równe części.
Forma przecięcia z nachyleniem: Równanie linii prostej w postaci przecięcia z nachyleniem to \(y = mx + b\) , gdzie \(m\) to nachylenie linii, a \(b\) to y -przechwycić. Nachylenie \(m\) reprezentuje nachylenie linii i jest obliczane jako zmiana y w stosunku do zmiany x między dwoma punktami na linii.
Postać punktu-nachylenie: Inną formą równania linii jest postać punktu-nachylenie, która jest \(y - y_1 = m(x - x_1)\) gdzie \((x_1, y_1)\) jest punktem na linia, a \(m\) to nachylenie linii.
Równanie okręgu o środku \((h, k)\) i promieniu \(r\) wyraża się wzorem: \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \) To równanie reprezentuje wszystkie punkty \((x, y)\) , które znajdują się w odległości \(r\) od środka \((h, k)\) .
Parabola to krzywa, w której dowolny punkt znajduje się w równej odległości od stałego punktu zwanego ogniskiem i stałej linii zwanej kierownicą. Standardowa postać równania paraboli otwierającej się w górę lub w dół to: \( y - k = a(x - h)^2 \) Gdzie \((h, k)\) jest wierzchołkiem paraboli, oraz \(a\) to współczynnik określający szerokość i kierunek paraboli.
Przykład 1: Oblicz odległość pomiędzy punktami (2, 3) i (-1, -1). Stosując wzór na odległość mamy: \( d = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
Przykład 2: Znajdź środek odcinka łączącego punkty (6, 4) i (2, -2). Korzystając ze wzoru na punkt środkowy, otrzymujemy: \( M = \left(\frac{6 + 2}{2}, \frac{4 - 2}{2}\right) = (4, 1) \)
Przykład 3: Zapisz równanie prostej o nachyleniu 2 przechodzącej przez punkt (3, -1). Stosując postać nachylenia punktu, mamy: \( y - (-1) = 2(x - 3) \) W uproszczeniu otrzymujemy: \( y = 2x - 7 \)
Aby lepiej zrozumieć geometrię współrzędnych, pomocne jest użycie oprogramowania graficznego do wizualizacji omawianych równań i pojęć. Wprowadzając różne równania, można zobaczyć, jak zmieniające się wartości wpływają na kształt i położenie figur geometrycznych.
Geometria współrzędnych to potężne narzędzie, które pozwala nam precyzyjnie opisać położenie i charakterystykę figur geometrycznych na płaszczyźnie. Łączy algebrę i geometrię, umożliwiając analizowanie i rozwiązywanie problemów geometrycznych za pomocą równań algebraicznych.
