A geometria coordenada, também conhecida como geometria analítica, é o estudo da geometria usando um sistema de coordenadas. Esta abordagem combina álgebra e geometria para descrever a posição de pontos, linhas e curvas.
Sistema de Coordenadas: O sistema de coordenadas é um método para identificar a posição de um ponto em um plano usando dois números, chamados de coordenadas. O sistema mais comum é o sistema de coordenadas cartesianas, onde a posição de um ponto é determinada pela sua distância de dois eixos perpendiculares que se cruzam em um ponto denominado origem.
Pontos: Um ponto na geometria de coordenadas é representado por um par ordenado \((x, y)\) , onde \(x\) é a distância horizontal do eixo y, e \(y\) é a distância vertical de o eixo x.
A distância \(d\) entre dois pontos \((x_1, y_1)\) e \((x_2, y_2)\) em um plano é dada pela fórmula: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) Esta fórmula é derivada do teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo formado pela linha que conecta os dois pontos e as projeções desta linha nos eixos xey.
O ponto médio do segmento de reta que conecta dois pontos \((x_1, y_1)\) e \((x_2, y_2)\) é dado pela seguinte fórmula: \( M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \) O ponto médio é o ponto que divide o segmento de reta em duas partes iguais.
Forma de interceptação de inclinação: A equação de uma linha reta na forma de interceptação de inclinação é \(y = mx + b\) , onde \(m\) é a inclinação da linha e \(b\) é o y -interceptar. A inclinação \(m\) representa a inclinação da reta e é calculada como a variação de y sobre a variação de x entre dois pontos da reta.
Forma ponto-inclinação: Outra forma da equação de uma reta é a forma ponto-inclinação, que é \(y - y_1 = m(x - x_1)\) onde \((x_1, y_1)\) é um ponto em a reta, e \(m\) é a inclinação da reta.
A equação de um círculo com centro \((h, k)\) e raio \(r\) é dada por: \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \) Esta equação representa todos os pontos \((x, y)\) que estão a uma distância \(r\) do centro \((h, k)\) .
Uma parábola é uma curva onde qualquer ponto está a uma distância igual de um ponto fixo chamado foco e de uma linha fixa chamada diretriz. A forma padrão da equação de uma parábola abrindo para cima ou para baixo é: \( y - k = a(x - h)^2 \) Onde \((h, k)\) é o vértice da parábola, e \(a\) é um coeficiente que determina a largura e a direção da parábola.
Exemplo 1: Calcule a distância entre os pontos (2, 3) e (-1, -1). Aplicando a fórmula da distância, temos: \( d = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
Exemplo 2: Encontre o ponto médio do segmento de linha que conecta os pontos (6, 4) e (2, -2). Usando a fórmula do ponto médio, obtemos: \( M = \left(\frac{6 + 2}{2}, \frac{4 - 2}{2}\right) = (4, 1) \)
Exemplo 3: Escreva a equação da reta com inclinação 2 passando pelo ponto (3, -1). Usando a forma ponto-inclinação, temos: \( y - (-1) = 2(x - 3) \) Simplificando, obtemos: \( y = 2x - 7 \)
Para entender melhor a geometria das coordenadas, é útil usar um software gráfico para visualizar as equações e conceitos discutidos. Ao inserir diferentes equações, pode-se ver como a mudança de valores afeta a forma e a posição das figuras geométricas.
A geometria coordenada é uma ferramenta poderosa que nos permite descrever com precisão a posição e as características das figuras geométricas em um plano. Ele une álgebra e geometria, fornecendo uma maneira de analisar e resolver problemas geométricos por meio de equações algébricas.
