Gjeometria e koordinatave, e njohur gjithashtu si gjeometria analitike, është studimi i gjeometrisë duke përdorur një sistem koordinativ. Kjo qasje kombinon algjebrën dhe gjeometrinë për të përshkruar pozicionin e pikave, vijave dhe kthesave.
Sistemi i koordinatave: Sistemi i koordinatave është një metodë për të identifikuar pozicionin e një pike në një plan duke përdorur dy numra, të quajtur koordinata. Sistemi më i zakonshëm është sistemi i koordinatave Kartezian, ku pozicioni i një pike përcaktohet nga distanca e saj nga dy boshte pingul që kryqëzohen në një pikë të quajtur origjinë.
Pikat: Një pikë në gjeometrinë e koordinatave përfaqësohet nga një çift i renditur \((x, y)\) , ku \(x\) është distanca horizontale nga boshti y dhe \(y\) është distanca vertikale nga boshti x.
Distanca \(d\) midis dy pikave \((x_1, y_1)\) dhe \((x_2, y_2)\) në një plan jepet me formulën: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) Kjo formulë rrjedh nga teorema e Pitagorës e aplikuar në trekëndëshin kënddrejtë të formuar nga vija që lidh dy pikat dhe projeksionet e kësaj drejtëze në boshtin x dhe boshtin y.
Pika e mesme e segmentit të linjës që lidh dy pika \((x_1, y_1)\) dhe \((x_2, y_2)\) jepet me formulën e mëposhtme: \( M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \) Pika e mesit është pika që ndan segmentin e vijës në dy pjesë të barabarta.
Forma e prerjes së shpatit: Ekuacioni i një vije të drejtë në formën e prerjes së pjerrësisë është \(y = mx + b\) , ku \(m\) është pjerrësia e drejtëzës dhe \(b\) është y -përgjim. Pjerrësia \(m\) përfaqëson pjerrësinë e vijës dhe llogaritet si ndryshim në y mbi ndryshimin në x midis dy pikave të vijës.
Forma e pjerrësisë së pikës: Një formë tjetër e ekuacionit të një drejtëze është forma e pjerrësisë së pikës, e cila është \(y - y_1 = m(x - x_1)\) ku \((x_1, y_1)\) është një pikë në vija, dhe \(m\) është pjerrësia e vijës.
Ekuacioni i një rrethi me qendër \((h, k)\) dhe rreze \(r\) jepet nga: \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \) Ky ekuacion paraqet të gjitha pikat \((x, y)\) që janë një distancë \(r\) nga qendra \((h, k)\) .
Një parabolë është një kurbë ku çdo pikë është në një distancë të barabartë nga një pikë fikse e quajtur fokus dhe një vijë fikse e quajtur direktrix. Forma standarde e ekuacionit të një parabole që hapet lart ose poshtë është: \( y - k = a(x - h)^2 \) Ku \((h, k)\) është kulmi i parabolës, dhe \(a\) është një koeficient që përcakton gjerësinë dhe drejtimin e parabolës.
Shembulli 1: Llogaritni distancën ndërmjet pikave (2, 3) dhe (-1, -1). Duke zbatuar formulën e distancës, kemi: \( d = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
Shembulli 2: Gjeni pikën e mesit të segmentit të vijës që lidh pikat (6, 4) dhe (2, -2). Duke përdorur formulën e pikës së mesit, marrim: \( M = \left(\frac{6 + 2}{2}, \frac{4 - 2}{2}\right) = (4, 1) \)
Shembulli 3: Shkruani ekuacionin e drejtëzës me pjerrësi 2 që kalon në pikën (3, -1). Duke përdorur formën e pjerrësisë pikë, kemi: \( y - (-1) = 2(x - 3) \) Duke thjeshtuar, marrim: \( y = 2x - 7 \)
Për të kuptuar më tej gjeometrinë e koordinatave, është e dobishme të përdoret softueri grafik për të vizualizuar ekuacionet dhe konceptet e diskutuara. Duke futur ekuacione të ndryshme, mund të shihet se si ndryshimi i vlerave ndikon në formën dhe pozicionin e figurave gjeometrike.
Gjeometria e koordinatave është një mjet i fuqishëm që na lejon të përshkruajmë saktësisht pozicionin dhe karakteristikat e figurave gjeometrike në një plan. Ajo lidh algjebrën dhe gjeometrinë, duke ofruar një mënyrë për të analizuar dhe zgjidhur problemet gjeometrike përmes ekuacioneve algjebrike.
