เรขาคณิตเชิงพิกัดหรือที่เรียกว่าเรขาคณิตวิเคราะห์ เป็นการศึกษาเรขาคณิตโดยใช้ระบบพิกัด วิธีการนี้เป็นการผสมผสานพีชคณิตและเรขาคณิตเข้าด้วยกันเพื่ออธิบายตำแหน่งของจุด เส้น และเส้นโค้ง
ระบบพิกัด: ระบบพิกัดเป็นวิธีการระบุตำแหน่งของจุดในระนาบโดยใช้ตัวเลขสองตัวที่เรียกว่าพิกัด ระบบที่พบบ่อยที่สุดคือระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ซึ่งตำแหน่งของจุดถูกกำหนดโดยระยะห่างจากแกนตั้งฉากสองแกนที่ตัดกันที่จุดที่เรียกว่าจุดกำเนิด
จุด: จุดในเรขาคณิตพิกัดแสดงด้วยคู่อันดับ \((x, y)\) โดยที่ \(x\) คือระยะห่างแนวนอนจากแกน y และ \(y\) คือระยะห่างในแนวตั้งจาก แกน x
ระยะห่าง \(d\) ระหว่างจุดสองจุด \((x_1, y_1)\) และ \((x_2, y_2)\) ในระนาบหาได้จากสูตร: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) สูตรนี้ได้มาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่ใช้กับสามเหลี่ยมมุมฉากที่เกิดจากเส้นที่เชื่อมระหว่างจุดสองจุดและเส้นโครงของเส้นนี้ลงบนแกน x และแกน y
จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดสองจุด \((x_1, y_1)\) และ \((x_2, y_2)\) ได้มาจากสูตรต่อไปนี้: \( M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \) จุดกึ่งกลางคือจุดที่แบ่งส่วนของเส้นตรงออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน
รูปแบบจุดตัดความชัน: สมการของเส้นตรงในรูปแบบจุดตัดความชันคือ \(y = mx + b\) โดยที่ \(m\) คือความชันของเส้นตรง และ \(b\) คือ y -สกัดกั้น ความชัน \(m\) แสดงถึงความชันของเส้นและคำนวณจากการเปลี่ยนแปลงใน y ส่วนการเปลี่ยนแปลงของ x ระหว่างจุดสองจุดบนเส้นตรง
รูปแบบจุด-ความชัน: อีกรูปแบบหนึ่งของสมการของเส้นตรงคือรูปแบบจุด-ความชัน ซึ่งก็คือ \(y - y_1 = m(x - x_1)\) โดยที่ \((x_1, y_1)\) เป็นจุดบน เส้นตรง และ \(m\) คือความชันของเส้นตรง
สมการของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง \((h, k)\) และรัศมี \(r\) หาได้จาก: \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \) สมการนี้แทนจุดทั้งหมด \((x, y)\) ที่เป็นระยะทาง \(r\) จากจุดศูนย์กลาง \((h, k)\)
พาราโบลาคือเส้นโค้งที่จุดใดๆ อยู่ในระยะห่างเท่ากันจากจุดคงที่ที่เรียกว่าโฟกัส และเส้นคงที่ที่เรียกว่าไดเรกตริกซ์ รูปแบบมาตรฐานของสมการของพาราโบลาที่เปิดขึ้นหรือลงคือ: \( y - k = a(x - h)^2 \) โดยที่ \((h, k)\) คือจุดยอดของพาราโบลา และ \(a\) คือค่าสัมประสิทธิ์ที่กำหนดความกว้างและทิศทางของพาราโบลา
ตัวอย่างที่ 1: คำนวณระยะห่างระหว่างจุด (2, 3) และ (-1, -1) เมื่อใช้สูตรระยะทาง เราจะได้: \( d = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
ตัวอย่างที่ 2: ค้นหาจุดกึ่งกลางของจุดเชื่อมต่อส่วนของเส้นตรง (6, 4) และ (2, -2) เมื่อใช้สูตรจุดกึ่งกลาง เราจะได้: \( M = \left(\frac{6 + 2}{2}, \frac{4 - 2}{2}\right) = (4, 1) \)
ตัวอย่างที่ 3: เขียนสมการของเส้นตรงที่มีความชัน 2 ผ่านจุด (3, -1) เมื่อใช้รูปแบบจุด-ความชัน เราจะได้: \( y - (-1) = 2(x - 3) \) ทำให้ง่ายขึ้น เราได้: \( y = 2x - 7 \)
เพื่อให้เข้าใจเรขาคณิตของพิกัดเพิ่มเติม การใช้ซอฟต์แวร์สร้างกราฟเพื่อแสดงภาพสมการและแนวคิดที่กล่าวถึงจะเป็นประโยชน์ ด้วยการป้อนสมการต่างๆ เราจะสามารถดูได้ว่าค่าที่เปลี่ยนแปลงส่งผลต่อรูปร่างและตำแหน่งของรูปทรงเรขาคณิตอย่างไร
เรขาคณิตพิกัดเป็นเครื่องมืออันทรงพลังที่ช่วยให้เราสามารถอธิบายตำแหน่งและลักษณะของรูปทรงเรขาคณิตในระนาบได้อย่างแม่นยำ เป็นการเชื่อมโยงพีชคณิตและเรขาคณิตเข้าด้วยกัน เป็นวิธีการวิเคราะห์และแก้ปัญหาทางเรขาคณิตผ่านสมการพีชคณิต
