Ang coordinate geometry, na kilala rin bilang analytic geometry, ay ang pag-aaral ng geometry gamit ang isang coordinate system. Pinagsasama ng diskarteng ito ang algebra at geometry upang ilarawan ang posisyon ng mga puntos, linya, at kurba.
Coordinate System: Ang coordinate system ay isang paraan upang matukoy ang posisyon ng isang punto sa isang eroplano sa pamamagitan ng paggamit ng dalawang numero, na tinatawag na mga coordinate. Ang pinakakaraniwang sistema ay ang Cartesian coordinate system, kung saan ang posisyon ng isang punto ay natutukoy sa pamamagitan ng distansya nito mula sa dalawang perpendicular axes na nagsasalubong sa isang puntong tinatawag na pinanggalingan.
Mga Punto: Ang isang punto sa coordinate geometry ay kinakatawan ng isang nakaayos na pares \((x, y)\) , kung saan ang \(x\) ay ang pahalang na distansya mula sa y-axis, at \(y\) ay ang patayong distansya mula sa ang x-axis.
Ang distansya \(d\) sa pagitan ng dalawang puntos \((x_1, y_1)\) at \((x_2, y_2)\) sa isang eroplano ay ibinibigay ng formula: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) Ang pormula na ito ay hinango mula sa Pythagorean theorem na inilapat sa kanang tatsulok na nabuo ng linyang nagkokonekta sa dalawang punto at ang mga projection ng linyang ito papunta sa x-axis at y-axis.
Ang midpoint ng line segment na nagkokonekta sa dalawang punto \((x_1, y_1)\) at \((x_2, y_2)\) ay ibinibigay ng sumusunod na formula: \( M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \) Ang midpoint ay ang puntong naghahati sa segment ng linya sa dalawang pantay na bahagi.
Slope-Intercept Form: Ang equation ng isang tuwid na linya sa slope-intercept form ay \(y = mx + b\) , kung saan ang \(m\) ay ang slope ng linya, at ang \(b\) ay ang y - humarang. Ang slope \(m\) ay kumakatawan sa steepness ng linya at kinakalkula bilang pagbabago sa y sa pagbabago sa x sa pagitan ng dalawang puntos sa linya.
Point-Slope Form: Ang isa pang anyo ng equation ng isang linya ay ang point-slope form, na \(y - y_1 = m(x - x_1)\) kung saan \((x_1, y_1)\) ay isang punto sa ang linya, at \(m\) ay ang slope ng linya.
Ang equation ng isang bilog na may center \((h, k)\) at radius \(r\) ay ibinibigay ng: \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \) Ang equation na ito ay kumakatawan sa lahat ng mga puntos \((x, y)\) na isang distansya \(r\) mula sa gitna \((h, k)\) .
Ang parabola ay isang kurba kung saan ang anumang punto ay nasa pantay na distansya mula sa isang nakapirming punto na tinatawag na focus at isang nakapirming linya na tinatawag na directrix. Ang karaniwang anyo ng equation ng isang parabola na nagbubukas pataas o pababa ay: \( y - k = a(x - h)^2 \) Kung saan ang \((h, k)\) ay ang vertex ng parabola, at \(a\) ay isang koepisyent na tumutukoy sa lapad at direksyon ng parabola.
Halimbawa 1: Kalkulahin ang distansya sa pagitan ng mga puntos (2, 3) at (-1, -1). Sa pamamagitan ng paglalapat ng formula ng distansya, mayroon tayong: \( d = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
Halimbawa 2: Hanapin ang midpoint ng line segment na nagdudugtong sa mga punto (6, 4) at (2, -2). Gamit ang midpoint formula, nakukuha natin ang: \( M = \left(\frac{6 + 2}{2}, \frac{4 - 2}{2}\right) = (4, 1) \)
Halimbawa 3: Isulat ang equation ng linya na may slope 2 na dumadaan sa punto (3, -1). Gamit ang point-slope form, mayroon tayong: \( y - (-1) = 2(x - 3) \) Pagpapasimple, nakuha natin ang: \( y = 2x - 7 \)
Upang higit na maunawaan ang coordinate geometry, makatutulong na gumamit ng graphing software upang mailarawan ang mga equation at konseptong tinalakay. Sa pamamagitan ng pag-input ng iba't ibang equation, makikita kung paano nakakaapekto ang pagbabago ng mga halaga sa hugis at posisyon ng mga geometric na figure.
Ang coordinate geometry ay isang makapangyarihang tool na nagbibigay-daan sa amin na tumpak na ilarawan ang posisyon at katangian ng mga geometric na figure sa isang eroplano. Tinutulay nito ang algebra at geometry, na nagbibigay ng paraan upang pag-aralan at lutasin ang mga geometric na problema sa pamamagitan ng mga algebraic equation.
