Analitik geometri olarak da bilinen koordinat geometrisi, bir koordinat sistemi kullanılarak geometrinin incelenmesidir. Bu yaklaşım, noktaların, çizgilerin ve eğrilerin konumunu tanımlamak için cebir ve geometriyi birleştirir.
Koordinat Sistemi: Koordinat sistemi, koordinat adı verilen iki sayıyı kullanarak düzlemdeki bir noktanın konumunu belirlemeye yönelik bir yöntemdir. En yaygın sistem, bir noktanın konumunun, orijin adı verilen bir noktada kesişen iki dik eksene olan uzaklığıyla belirlendiği Kartezyen koordinat sistemidir.
Noktalar: Koordinat geometrisindeki bir nokta \((x, y)\) sıralı bir çift ile temsil edilir; burada \(x\) y ekseninden yatay mesafedir ve \(y\) ekseninden dikey mesafedir. x ekseni.
Bir düzlemdeki iki nokta \((x_1, y_1)\) ve \((x_2, y_2)\) arasındaki \(d\) uzaklığı şu formülle verilir: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) Bu formül, iki noktayı birleştiren doğrunun oluşturduğu dik üçgene ve bu doğrunun x ekseni ve y eksenine izdüşümlerine uygulanan Pisagor teoreminden türetilmiştir.
İki noktayı \((x_1, y_1)\) ve \((x_2, y_2)\) birleştiren doğru parçasının orta noktası aşağıdaki formülle verilir: \( M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \) Orta nokta, doğru parçasını iki eşit parçaya bölen noktadır.
Eğim-Kesme Formu: Eğim-kesme formundaki bir doğrunun denklemi \(y = mx + b\) şeklindedir; burada \(m\) doğrunun eğimidir ve \(b\) y'dir. -tutmak. Eğim \(m\) doğrunun dikliğini temsil eder ve doğru üzerindeki iki nokta arasındaki y'deki değişim bölü x'teki değişim olarak hesaplanır.
Nokta-Eğim Formu: Bir doğrunun denkleminin diğer bir formu, \(y - y_1 = m(x - x_1)\) olan nokta-eğim formudur; burada \((x_1, y_1)\) üzerinde bir noktadır. doğru ve \(m\) doğrunun eğimidir.
Merkezi \((h, k)\) ve yarıçapı \(r\) olan bir dairenin denklemi şu şekilde verilir: \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \) Bu denklem, \((h, k)\) merkezinden \(r\) uzaklıkta olan tüm \((x, y)\) \((h, k)\) noktalarını temsil eder.
Parabol, herhangi bir noktanın odak adı verilen sabit bir noktaya ve doğrultman adı verilen sabit bir çizgiye eşit uzaklıkta olduğu bir eğridir. Yukarıya veya aşağıya açılan bir parabol denkleminin standart formu şöyledir: \( y - k = a(x - h)^2 \) Burada \((h, k)\) parabolün tepe noktasıdır ve \(a\) parabolün genişliğini ve yönünü belirleyen bir katsayıdır.
Örnek 1: (2, 3) ve (-1, -1) noktaları arasındaki mesafeyi hesaplayın. Uzaklık formülünü uygulayarak şunu elde ederiz: \( d = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
Örnek 2: (6, 4) ve (2, -2) noktalarını birleştiren doğru parçasının orta noktasını bulun. Orta nokta formülünü kullanarak şunu elde ederiz: \( M = \left(\frac{6 + 2}{2}, \frac{4 - 2}{2}\right) = (4, 1) \)
Örnek 3: (3, -1) noktasından geçen eğimi 2 olan doğrunun denklemini yazınız. Nokta-eğim formunu kullanarak şunu elde ederiz: \( y - (-1) = 2(x - 3) \) Basitleştirirsek şunu elde ederiz: \( y = 2x - 7 \)
Koordinat geometrisini daha iyi anlamak için tartışılan denklemleri ve kavramları görselleştirmek üzere grafik yazılımı kullanmak yararlı olacaktır. Farklı denklemler girilerek değişen değerlerin geometrik şekillerin şeklini ve konumunu nasıl etkilediği görülebilir.
Koordinat geometrisi, bir düzlemdeki geometrik şekillerin konumunu ve özelliklerini kesin olarak tanımlamamıza olanak tanıyan güçlü bir araçtır. Cebir ve geometri arasında köprü kurarak geometrik problemleri cebirsel denklemler aracılığıyla analiz etmenin ve çözmenin bir yolunu sağlar.
