Координатна геометрія, також відома як аналітична геометрія, — це дослідження геометрії за допомогою системи координат. Цей підхід поєднує алгебру та геометрію для опису положення точок, ліній і кривих.
Система координат: система координат — це метод визначення положення точки на площині за допомогою двох чисел, які називаються координатами. Найпоширенішою системою є декартова система координат, де положення точки визначається її відстанню від двох перпендикулярних осей, що перетинаються в точці, яка називається початком координат.
Точки: точка в координатній геометрії представлена впорядкованою парою \((x, y)\) , де \(x\) — горизонтальна відстань від осі y, а \(y\) — вертикальна відстань від вісь х.
Відстань \(d\) між двома точками \((x_1, y_1)\) і \((x_2, y_2)\) на площині визначається за формулою: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) Цю формулу отримано з теореми Піфагора, застосованої до прямокутного трикутника, утвореного лінією, що з’єднує дві точки, і проекціями цієї прямої на вісь x і вісь y.
Середина відрізка, що з’єднує дві точки \((x_1, y_1)\) і \((x_2, y_2)\) визначається такою формулою: \( M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \) Середина — це точка, яка ділить відрізок на дві рівні частини.
Форма перетину нахилу: рівняння прямої у формі перетину нахилу має такий вигляд: \(y = mx + b\) , де \(m\) — нахил лінії, а \(b\) — y -перехоплення. Нахил \(m\) представляє крутизна лінії та обчислюється як зміна y на зміну x між двома точками на лінії.
Точково-нахила: Інша форма рівняння лінії – це точково-нахил, тобто \(y - y_1 = m(x - x_1)\) де \((x_1, y_1)\) — точка на лінія, а \(m\) — кут нахилу лінії.
Рівняння кола з центром \((h, k)\) і радіусом \(r\) задається так: \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \) Це рівняння представляє всі точки \((x, y)\) , які знаходяться на відстані \(r\) від центру \((h, k)\) .
Парабола — це крива, де будь-яка точка знаходиться на однаковій відстані від фіксованої точки, яка називається фокусом, і нерухомої лінії, яка називається директрисою. Стандартна форма рівняння параболи, що відкривається вгору або вниз, виглядає так: \( y - k = a(x - h)^2 \) Де \((h, k)\) — це вершина параболи, а \(a\) — коефіцієнт, що визначає ширину і напрямок параболи.
Приклад 1: обчисліть відстань між точками (2, 3) і (-1, -1). Застосовуючи формулу відстані, ми маємо: \( d = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
Приклад 2: Знайдіть середину відрізка, що сполучає точки (6, 4) і (2, -2). Використовуючи формулу середньої точки, ми отримуємо: \( M = \left(\frac{6 + 2}{2}, \frac{4 - 2}{2}\right) = (4, 1) \)
Приклад 3: Напишіть рівняння прямої з нахилом 2, що проходить через точку (3, -1). Використовуючи точково-нахил, ми маємо: \( y - (-1) = 2(x - 3) \) Спрощуючи, ми отримуємо: \( y = 2x - 7 \)
Щоб краще зрозуміти координатну геометрію, корисно використовувати програмне забезпечення для побудови графіків, щоб візуалізувати обговорювані рівняння та поняття. Вводячи різні рівняння, можна побачити, як зміна значень впливає на форму та положення геометричних фігур.
Координатна геометрія є потужним інструментом, який дозволяє нам точно описати положення та характеристики геометричних фігур на площині. Він поєднує алгебру та геометрію, надаючи спосіб аналізу та вирішення геометричних задач за допомогою алгебраїчних рівнянь.
