کوآرڈینیٹ جیومیٹری، جسے تجزیاتی جیومیٹری بھی کہا جاتا ہے، ایک کوآرڈینیٹ سسٹم کا استعمال کرتے ہوئے جیومیٹری کا مطالعہ ہے۔ یہ نقطہ نظر پوائنٹس، لائنوں اور منحنی خطوط کی پوزیشن کو بیان کرنے کے لیے الجبرا اور جیومیٹری کو یکجا کرتا ہے۔
کوآرڈینیٹ سسٹم: کوآرڈینیٹ سسٹم دو نمبروں کا استعمال کرتے ہوئے ہوائی جہاز میں کسی نقطہ کی پوزیشن کی شناخت کرنے کا ایک طریقہ ہے، جسے کوآرڈینیٹ کہتے ہیں۔ سب سے عام نظام کارٹیشین کوآرڈینیٹ سسٹم ہے، جہاں ایک نقطہ کی پوزیشن کا تعین اس کے دو کھڑے محوروں سے فاصلے سے کیا جاتا ہے جو ایک نقطہ پر آپس میں جڑے ہوئے ہیں جسے اصل کہتے ہیں۔
پوائنٹس: کوآرڈینیٹ جیومیٹری میں ایک نقطہ کی نمائندگی ایک ترتیب شدہ جوڑے کے ذریعے کی جاتی ہے \((x, y)\) ، جہاں \(x\) y-axis سے افقی فاصلہ ہے، اور \(y\) اس سے عمودی فاصلہ ہے۔ ایکس محور
ایک ہوائی جہاز میں دو پوائنٹس \(d\) کے درمیان فاصلہ \((x_1, y_1)\) اور \((x_2, y_2)\) فارمولے سے دیا گیا ہے: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) یہ فارمولہ پائتھاگورین تھیوریم سے اخذ کیا گیا ہے جو دو پوائنٹس اور اس لائن کے تخمینے کو x-axis اور y-axis پر جوڑنے والی لائن کے ذریعے بننے والے دائیں مثلث پر لاگو ہوتا ہے۔
دو پوائنٹس \((x_1, y_1)\) اور \((x_2, y_2)\) کو جوڑنے والے لائن سیگمنٹ کا وسط پوائنٹ درج ذیل فارمولے سے دیا گیا ہے: \( M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \) وسط پوائنٹ وہ نقطہ ہے جو لائن سیگمنٹ کو دو برابر حصوں میں تقسیم کرتا ہے۔
ڈھلوان-انٹرسیپٹ فارم: ڈھلوان-انٹرسیپٹ فارم میں سیدھی لکیر کی مساوات \(y = mx + b\) ہے، جہاں \(m\) لکیر کی ڈھلوان ہے، اور \(b\) y ہے۔ -راہ میں روکنا۔ ڈھلوان \(m\) لکیر کی کھڑی پن کو ظاہر کرتی ہے اور اسے لائن کے دو پوائنٹس کے درمیان x میں تبدیلی پر y میں تبدیلی کے طور پر شمار کیا جاتا ہے۔
نقطہ ڈھلوان کی شکل: لائن کی مساوات کی ایک اور شکل نقطہ ڈھلوان کی شکل ہے، جو ہے \(y - y_1 = m(x - x_1)\) جہاں \((x_1, y_1)\) ایک نقطہ ہے لائن، اور \(m\) لائن کی ڈھلوان ہے۔
مرکز \((h, k)\) اور رداس \(r\) کے ساتھ دائرے کی مساوات بذریعہ دی گئی ہے: \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \) یہ مساوات ان تمام پوائنٹس کی نمائندگی کرتی ہے \((x, y)\) جو مرکز سے فاصلہ \(r\) ہیں \((h, k)\)
پیرابولا ایک منحنی خطوط ہے جہاں کوئی بھی نقطہ ایک مقررہ نقطہ سے مساوی فاصلے پر ہوتا ہے جسے فوکس کہتے ہیں اور ایک مقررہ لائن جسے ڈائرکٹرکس کہتے ہیں۔ اوپر یا نیچے کی طرف کھلنے والے پیرابولا کی مساوات کی معیاری شکل یہ ہے: \( y - k = a(x - h)^2 \) جہاں \((h, k)\) پیرابولا کی چوٹی ہے، اور \(a\) ایک عدد ہے جو پیرابولا کی چوڑائی اور سمت کا تعین کرتا ہے۔
مثال 1: پوائنٹس (2، 3) اور (-1، -1) کے درمیان فاصلے کا حساب لگائیں۔ فاصلاتی فارمولے کو لاگو کرنے سے، ہمارے پاس ہے: \( d = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
مثال 2: لائن سیگمنٹ کو جوڑنے والے پوائنٹس (6, 4) اور (2, -2) کا درمیانی نقطہ تلاش کریں۔ مڈ پوائنٹ فارمولہ کا استعمال کرتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں: \( M = \left(\frac{6 + 2}{2}, \frac{4 - 2}{2}\right) = (4, 1) \)
مثال 3: نقطہ (3، -1) سے گزرنے والی ڈھلوان 2 کے ساتھ لائن کی مساوات لکھیں۔ نقطہ ڈھلوان فارم کا استعمال کرتے ہوئے، ہمارے پاس ہے: \( y - (-1) = 2(x - 3) \) آسان بنانے سے، ہم حاصل کرتے ہیں: \( y = 2x - 7 \)
کوآرڈینیٹ جیومیٹری کو مزید سمجھنے کے لیے، زیر بحث مساوات اور تصورات کو دیکھنے کے لیے گرافنگ سافٹ ویئر کا استعمال کرنا مددگار ہے۔ مختلف مساواتیں ڈال کر، کوئی دیکھ سکتا ہے کہ بدلتی ہوئی قدریں ہندسی اعداد و شمار کی شکل اور پوزیشن کو کیسے متاثر کرتی ہیں۔
کوآرڈینیٹ جیومیٹری ایک طاقتور ٹول ہے جو ہمیں جہاز میں ہندسی اعداد و شمار کی پوزیشن اور خصوصیات کو درست طریقے سے بیان کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ یہ الجبرا اور جیومیٹری کو جوڑتا ہے، الجبری مساوات کے ذریعے ہندسی مسائل کا تجزیہ اور حل کرنے کا ایک طریقہ فراہم کرتا ہے۔
