Hình học tọa độ, còn được gọi là hình học giải tích, là nghiên cứu về hình học sử dụng hệ tọa độ. Cách tiếp cận này kết hợp đại số và hình học để mô tả vị trí của các điểm, đường và đường cong.
Hệ tọa độ: Hệ tọa độ là phương pháp xác định vị trí của một điểm trong mặt phẳng bằng cách sử dụng hai số, gọi là tọa độ. Hệ thống phổ biến nhất là hệ tọa độ Descartes, trong đó vị trí của một điểm được xác định bởi khoảng cách của nó với hai trục vuông góc giao nhau tại một điểm gọi là gốc tọa độ.
Điểm: Một điểm trong hình học tọa độ được biểu thị bằng một cặp có thứ tự \((x, y)\) , trong đó \(x\) là khoảng cách theo chiều ngang từ trục y và \(y\) là khoảng cách theo chiều dọc từ trục x.
Khoảng cách \(d\) giữa hai điểm \((x_1, y_1)\) và \((x_2, y_2)\) trong một mặt phẳng được tính theo công thức: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) Công thức này bắt nguồn từ định lý Pythagore áp dụng cho tam giác vuông được tạo bởi đường thẳng nối hai điểm và hình chiếu của đường thẳng này lên trục x và trục y.
Trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm \((x_1, y_1)\) và \((x_2, y_2)\) được cho bởi công thức sau: \( M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \) Trung điểm là điểm chia đoạn thẳng thành hai phần bằng nhau.
Dạng độ dốc-điểm chặn: Phương trình của một đường thẳng ở dạng điểm chặn độ dốc là \(y = mx + b\) , trong đó \(m\) là độ dốc của đường thẳng và \(b\) là y -đánh chặn. Độ dốc \(m\) biểu thị độ dốc của đường thẳng và được tính bằng sự thay đổi của y so với sự thay đổi của x giữa hai điểm trên đường thẳng.
Dạng độ dốc điểm: Một dạng khác của phương trình đường thẳng là dạng độ dốc điểm, \(y - y_1 = m(x - x_1)\) trong đó \((x_1, y_1)\) là một điểm trên đường thẳng và \(m\) là độ dốc của đường thẳng.
Phương trình đường tròn có tâm \((h, k)\) và bán kính \(r\) được cho bởi: \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \) Phương trình này biểu thị tất cả các điểm \((x, y)\) cách tâm \ \(r\) \((h, k)\) .
Parabol là một đường cong trong đó bất kỳ điểm nào đều cách một điểm cố định một khoảng bằng nhau gọi là tiêu điểm và một đường cố định gọi là đường chuẩn. Dạng chuẩn của phương trình parabol mở lên hoặc hướng xuống là: \( y - k = a(x - h)^2 \) Trong đó \((h, k)\) là đỉnh của parabol và \(a\) là hệ số xác định chiều rộng và hướng của parabol.
Ví dụ 1: Tính khoảng cách giữa các điểm (2, 3) và (-1, -1). Bằng cách áp dụng công thức khoảng cách, chúng ta có: \( d = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
Ví dụ 2: Tìm trung điểm của đoạn thẳng nối các điểm (6, 4) và (2, -2). Sử dụng công thức trung điểm, ta có: \( M = \left(\frac{6 + 2}{2}, \frac{4 - 2}{2}\right) = (4, 1) \)
Ví dụ 3: Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc 2 đi qua điểm (3, -1). Sử dụng dạng hệ số góc, ta có: \( y - (-1) = 2(x - 3) \) Rút gọn, ta thu được: \( y = 2x - 7 \)
Để hiểu rõ hơn về hình học tọa độ, sẽ rất hữu ích khi sử dụng phần mềm vẽ đồ thị để trực quan hóa các phương trình và khái niệm được thảo luận. Bằng cách nhập các phương trình khác nhau, người ta có thể thấy các giá trị thay đổi ảnh hưởng như thế nào đến hình dạng và vị trí của các hình hình học.
Hình học tọa độ là một công cụ mạnh mẽ cho phép chúng ta mô tả chính xác vị trí và đặc điểm của các hình hình học trong mặt phẳng. Nó kết nối đại số và hình học, cung cấp một cách để phân tích và giải các bài toán hình học thông qua các phương trình đại số.
