تعمل الهندسة الإحداثية في الأبعاد الثلاثة على توسيع مفاهيم الهندسة إلى مساحة تشمل الطول والعرض والارتفاع. يتم تعريف هذا الفضاء من خلال نظام الإحداثيات الديكارتي ثلاثي الأبعاد، الذي يتكون من ثلاثة محاور: المحور السيني (أفقي)، والمحور الصادي (عمودي)، والمحور ع (العمق).
يسمح لنا نظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد بتحديد موقع النقاط في الفضاء ثلاثي الأبعاد باستخدام الثلاثيات المرتبة \((x, y, z)\) ، حيث يمثل \(x\) الموضع على طول المحور السيني، \(y\) على طول المحور y، و \(z\) على طول المحور z. نقطة الأصل، والتي يُشار إليها باسم \((0, 0, 0)\) ، هي النقطة التي تتقاطع فيها المحاور الثلاثة.
يمكن حساب المسافة \(d\) بين نقطتين \((x_1, y_1, z_1)\) و \((x_2, y_2, z_2)\) في الفضاء ثلاثي الأبعاد باستخدام الصيغة:
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\)
يمكن تعريف الخط ثلاثي الأبعاد باستخدام معادلات حدودية تتضمن نقطة على الخط \((x_0, y_0, z_0)\) ومتجه الاتجاه \(\vec{v} = (a, b, c)\) . المعادلات البارامترية هي:
\(x = x_0 + at\)
\(y = y_0 + bt\)
\(z = z_0 + ct\)
حيث \(t\) هي معلمة تختلف عبر الأعداد الحقيقية.
يمكن تعريف المستوى في الفضاء ثلاثي الأبعاد بمعادلة بالشكل:
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
حيث \(A\) و \(B\) و \(C\) و \(D\) هي ثوابت، و \(x\) و \(y\) و \(z\) هي الإحداثيات في أي نقطة على الطائرة.
يمكن للزاوية \(\theta\) بين خطين مع متجهات الاتجاه \(\vec{v_1} = (a_1, b_1, c_1)\) و \(\vec{v_2} = (a_2, b_2, c_2)\) يمكن إيجادها باستخدام صيغة الضرب النقطي:
\(\cos{\theta} = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{\lVert \vec{v_1} \rVert \lVert \vec{v_2} \rVert} = \frac{a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}\sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}\)
حيث يشير \(\lVert \vec{v_i} \rVert\) إلى حجم المتجه \(\vec{v_i}\) .
يمكن إيجاد أقصر مسافة \(d\) من النقطة \((x_0, y_0, z_0)\) إلى المستوى \(Ax + By + Cz + D = 0\) باستخدام الصيغة:
\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)
يمكن للخط المحدد بواسطة المعادلات البارامترية والمستوى أن يتقاطع عند نقطة ما، أو يكون متوازيًا (بدون تقاطع)، أو يمكن أن يقع الخط على المستوى. للعثور على نقطة التقاطع (إن وجدت)، استبدل المعادلات البارامترية للخط في معادلة المستوى وحل للمعلمة \(t\) .
يسمح نظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد بحساب الحجم ومساحة سطح المواد الصلبة الهندسية مثل المجالات والأسطوانات والأهرامات. على سبيل المثال، حجم \(V\) للكرة التي نصف قطرها \(r\) هو:
\(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)
ومساحة السطح \(A\) هي:
\(A = 4\pi r^2\)
الهندسة الإحداثية ثلاثية الأبعاد لها تطبيقات واسعة في مجالات مثل الهندسة وعلم الفلك والفيزياء ورسومات الكمبيوتر. فهو يساعد في نمذجة كائنات العالم الحقيقي، وفهم خصائصها، وتصور الأنظمة المعقدة.
خذ بعين الاعتبار نقطتين \(P_1(1, 2, 3)\) و \(P_2(4, 5, 6)\) . ولإيجاد المسافة بينهما، نطبق صيغة المسافة:
\(d = \sqrt{(4-1)^2 + (5-2)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2}\)
بمعلومية ثلاث نقاط على المستوى \(A(1, 0, 0)\) و \(B(0, 1, 0)\) و \(C(0, 0, 1)\) ، يمكننا تحديد معادلة المستوى من خلال حل \(A\) و \(B\) و \(C\) و \(D\) . أحد هذه المستويات التي تمر عبر هذه النقاط هو \(x + y + z - 1 = 0\) .
تتوسع الهندسة الإحداثية في الأبعاد الثلاثة بناءً على مبادئ الأشكال والقياسات والمعادلات من بعدين إلى ثلاثة أبعاد. إن فهم نظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد، إلى جانب المعادلات والمفاهيم المرتبطة بالنقاط والخطوط والمستويات والمواد الصلبة، يوفر معرفة أساسية لاستكشاف مفاهيم هندسية وفيزيائية أكثر تعقيدًا في تطبيقات العالم الحقيقي.
