3-ölçülü koordinat həndəsəsi həndəsə anlayışlarını uzunluq, en və hündürlükdən ibarət məkana genişləndirir. Bu fəza üç oxdan ibarət olan üçölçülü Kartezian koordinat sistemi ilə müəyyən edilir: x oxu (üfüqi), y oxu (şaquli) və z oxu (dərinlik).
3D koordinat sistemi üçölçülü fəzada nöqtələrin yerini sıralı üçlüklərdən istifadə edərək təyin etməyə imkan verir \((x, y, z)\) , burada \(x\) x oxu boyunca mövqeyi təmsil edir, \(y\) y oxu boyunca və \(z\) z oxu boyunca. \((0, 0, 0)\) kimi işarələnən mənbə hər üç oxun kəsişdiyi nöqtədir.
3D məkanda iki nöqtə \((x_1, y_1, z_1)\) və \((x_2, y_2, z_2)\) arasındakı məsafə \(d\) düsturla hesablana bilər:
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\)
3D-də xətt \((x_0, y_0, z_0)\) xəttindəki nöqtəni və \(\vec{v} = (a, b, c)\) istiqamət vektorunu əhatə edən parametrik tənliklərdən istifadə etməklə müəyyən edilə bilər. Parametrik tənliklər bunlardır:
\(x = x_0 + at\)
\(y = y_0 + bt\)
\(z = z_0 + ct\)
burada \(t\) real ədədlər üzərində dəyişən parametrdir.
3D məkanında bir təyyarə formanın tənliyi ilə müəyyən edilə bilər:
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
burada \(A\) , \(B\) , \(C\) və \(D\) sabitlər, \(x\) , \(y\) və \(z\) isə koordinatlardır. təyyarənin istənilən nöqtəsində.
İstiqamət vektorları \(\vec{v_1} = (a_1, b_1, c_1)\) və \(\vec{v_2} = (a_2, b_2, c_2)\) olan iki xətt arasındakı \(\theta\) bucağı ola bilər \(\vec{v_2} = (a_2, b_2, c_2)\) nöqtəli məhsul düsturundan istifadə edərək tapın:
\(\cos{\theta} = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{\lVert \vec{v_1} \rVert \lVert \vec{v_2} \rVert} = \frac{a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}\sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}\)
burada \(\lVert \vec{v_i} \rVert\) \(\vec{v_i}\) vektorunun böyüklüyünü bildirir.
\((x_0, y_0, z_0)\) \(Ax + By + Cz + D = 0\) müstəvisinə olan ən qısa məsafəni \(d\) düsturdan istifadə etməklə tapmaq olar:
\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)
Parametrik tənliklər və müstəvi ilə müəyyən edilmiş xətt bir nöqtədə kəsişə bilər, paralel ola bilər (kəsişmə yoxdur) və ya xətt müstəvidə uzana bilər. Kəsişmə nöqtəsini tapmaq üçün (əgər varsa) xəttin parametrik tənliklərini müstəvi tənliyə əvəz edin və \(t\) parametrini həll edin.
3D koordinat sistemi kürələr, silindrlər və piramidalar kimi həndəsi bərk cisimlərin həcmini və səthini hesablamağa imkan verir. Məsələn, radiusu \(r\) olan kürənin \(V\) həcmi belədir:
\(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)
və \(A\) səth sahəsi:
\(A = 4\pi r^2\)
3D-də koordinat həndəsəsi mühəndislik, astronomiya, fizika və kompüter qrafikası kimi sahələrdə geniş tətbiqlərə malikdir. O, real dünya obyektlərinin modelləşdirilməsinə, onların xassələrinin başa düşülməsinə və mürəkkəb sistemlərin vizuallaşdırılmasına kömək edir.
İki nöqtəni nəzərdən keçirin, \(P_1(1, 2, 3)\) və \(P_2(4, 5, 6)\) . Aralarındakı məsafəni tapmaq üçün məsafə düsturunu tətbiq edirik:
\(d = \sqrt{(4-1)^2 + (5-2)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2}\)
\(A(1, 0, 0)\) , \(B(0, 1, 0)\) və \(C(0, 0, 1)\) müstəvidə üç nöqtə verilsə, biz müəyyən edə bilərik \(A\) , \(B\) , \(C\) və \(D\) üçün həll etməklə müstəvi tənliyini. Bu nöqtələrdən keçən belə müstəvilərdən biri \(x + y + z - 1 = 0\) .
3 ölçülü koordinat həndəsəsi formalar, ölçülər və tənliklər prinsipləri əsasında iki ölçüdən üçə qədər genişlənir. Nöqtələr, xətlər, müstəvilər və bərk cisimlərlə əlaqəli tənliklər və anlayışlarla birlikdə üçölçülü koordinat sistemini başa düşmək real dünya tətbiqlərində daha mürəkkəb həndəsi və fiziki anlayışları araşdırmaq üçün əsas biliklər verir.
