3-মাত্রায় জ্যামিতি সমন্বয় জ্যামিতির ধারণাগুলিকে এমন একটি স্থানের মধ্যে প্রসারিত করে যাতে দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতা অন্তর্ভুক্ত থাকে। এই স্থানটি ত্রি-মাত্রিক কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়, তিনটি অক্ষ দ্বারা গঠিত: x-অক্ষ (অনুভূমিক), y-অক্ষ (উল্লম্ব), এবং z-অক্ষ (গভীরতা)।
3D স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা আমাদেরকে ত্রিমাত্রিক স্থানে বিন্দুর অবস্থান নির্দিষ্ট করতে দেয় ত্রিমাত্রিক ত্রিপল ব্যবহার করে \((x, y, z)\) , যেখানে \(x\) x-অক্ষ বরাবর অবস্থানের প্রতিনিধিত্ব করে, \(y\) y-অক্ষ বরাবর, এবং \(z\) z-অক্ষ বরাবর। উৎপত্তি, \((0, 0, 0)\) হিসাবে চিহ্নিত করা হয়, সেই বিন্দু যেখানে তিনটি অক্ষ ছেদ করে।
3D স্পেসে দুটি বিন্দু \((x_1, y_1, z_1)\) এবং \((x_2, y_2, z_2)\) এর মধ্যকার দূরত্ব \(d\) সূত্রটি ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে:
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\)
3D তে একটি রেখাকে প্যারামেট্রিক সমীকরণ ব্যবহার করে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যেখানে লাইনের একটি বিন্দু রয়েছে \((x_0, y_0, z_0)\) এবং দিক ভেক্টর \(\vec{v} = (a, b, c)\) প্যারামেট্রিক সমীকরণগুলি হল:
\(x = x_0 + at\)
\(y = y_0 + bt\)
\(z = z_0 + ct\)
যেখানে \(t\) একটি প্যারামিটার যা বাস্তব সংখ্যার তুলনায় পরিবর্তিত হয়।
3D স্পেসে একটি সমতল ফর্মের একটি সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে:
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
যেখানে \(A\) , \(B\) , \(C\) , এবং \(D\) হল ধ্রুবক, এবং \(x\) , \(y\) , এবং \(z\) হল স্থানাঙ্ক সমতলে যে কোন বিন্দুর।
দিক ভেক্টর সহ দুটি লাইনের মধ্যে কোণ \(\theta\) \(\vec{v_1} = (a_1, b_1, c_1)\) এবং \(\vec{v_2} = (a_2, b_2, c_2)\) পারে ডট পণ্য সূত্র ব্যবহার করে পাওয়া যাবে:
\(\cos{\theta} = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{\lVert \vec{v_1} \rVert \lVert \vec{v_2} \rVert} = \frac{a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}\sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}\)
যেখানে \(\lVert \vec{v_i} \rVert\) ভেক্টরের মাত্রা বোঝায় \(\vec{v_i}\)
একটি বিন্দু \((x_0, y_0, z_0)\) থেকে একটি সমতলে \(Ax + By + Cz + D = 0\) সবচেয়ে কম দূরত্ব \(d\) সূত্রটি ব্যবহার করে পাওয়া যেতে পারে:
\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)
প্যারামেট্রিক সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি রেখা এবং একটি সমতল একটি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে, সমান্তরাল হতে পারে (কোন ছেদ নেই), বা লাইনটি সমতলে থাকতে পারে। ছেদ বিন্দু খুঁজে পেতে (যদি এটি বিদ্যমান থাকে), সমতল সমীকরণে লাইনের প্যারামেট্রিক সমীকরণগুলি প্রতিস্থাপন করুন এবং পরামিতিটির সমাধান করুন \(t\) ।
3D সমন্বয় ব্যবস্থা জ্যামিতিক কঠিন পদার্থ যেমন গোলক, সিলিন্ডার এবং পিরামিডের আয়তন এবং পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল গণনার জন্য অনুমতি দেয়। উদাহরণস্বরূপ, ব্যাসার্ধ \(V\) \(r\) সহ একটি গোলকের আয়তন \(V\) হল:
\(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)
এবং পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল \(A\) হল:
\(A = 4\pi r^2\)
3D-এ স্থানাঙ্ক জ্যামিতির প্রকৌশল, জ্যোতির্বিদ্যা, পদার্থবিদ্যা, এবং কম্পিউটার গ্রাফিক্সের মতো ক্ষেত্রে বিশাল অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে। এটি বাস্তব-বিশ্বের বস্তুর মডেলিং, তাদের বৈশিষ্ট্যগুলি বোঝা এবং জটিল সিস্টেমগুলিকে কল্পনা করতে সহায়তা করে।
দুটি পয়েন্ট বিবেচনা করুন, \(P_1(1, 2, 3)\) এবং \(P_2(4, 5, 6)\) । তাদের মধ্যে দূরত্ব খুঁজে পেতে, আমরা দূরত্ব সূত্র প্রয়োগ করি:
\(d = \sqrt{(4-1)^2 + (5-2)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2}\)
একটি সমতলে তিনটি বিন্দু দেওয়া \(A(1, 0, 0)\) , \(B(0, 1, 0)\) , এবং \(C(0, 0, 1)\) , আমরা নির্ধারণ করতে পারি \(A\) , \(B\) , \(C\) , এবং \(D\) সমাধান করে সমতলের সমীকরণ। এরকম একটি সমতল যা এই বিন্দুগুলির মধ্য দিয়ে যায় তা হল \(x + y + z - 1 = 0\) ।
3-মাত্রায় সমন্বয় জ্যামিতি আকার, পরিমাপ, এবং সমীকরণ দুই মাত্রা থেকে তিন পর্যন্ত নীতির উপর প্রসারিত হয়। বিন্দু, রেখা, সমতল এবং কঠিন পদার্থের সাথে যুক্ত সমীকরণ এবং ধারণা সহ ত্রি-মাত্রিক স্থানাঙ্ক সিস্টেম বোঝা, বাস্তব-বিশ্বের অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে আরও জটিল জ্যামিতিক এবং ভৌত ধারণাগুলি অন্বেষণের জন্য ভিত্তিগত জ্ঞান প্রদান করে।
