Die Koordinatengeometrie in 3 Dimensionen erweitert die Konzepte der Geometrie auf einen Raum, der Länge, Breite und Höhe umfasst. Dieser Raum wird durch das dreidimensionale kartesische Koordinatensystem definiert, das aus drei Achsen besteht: der x-Achse (horizontal), der y-Achse (vertikal) und der z-Achse (Tiefe).
Das 3D-Koordinatensystem ermöglicht es uns, die Position von Punkten im dreidimensionalen Raum mithilfe geordneter Tripel \((x, y, z)\) anzugeben, wobei \(x\) die Position entlang der x-Achse, \(y\) entlang der y-Achse und \(z\) entlang der z-Achse darstellt. Der Ursprung, bezeichnet als \((0, 0, 0)\) , ist der Punkt, an dem sich alle drei Achsen schneiden.
Der Abstand \(d\) zwischen zwei Punkten \((x_1, y_1, z_1)\) und \((x_2, y_2, z_2)\) im 3D-Raum kann mit der folgenden Formel berechnet werden:
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\)
Eine Linie in 3D kann mithilfe parametrischer Gleichungen definiert werden, die einen Punkt auf der Linie \((x_0, y_0, z_0)\) und den Richtungsvektor \(\vec{v} = (a, b, c)\) beinhalten. Die parametrischen Gleichungen lauten:
\(x = x_0 + at\)
\(y = y_0 + bt\)
\(z = z_0 + ct\)
wobei \(t\) ein Parameter ist, der über die reellen Zahlen variiert.
Eine Ebene im 3D-Raum kann durch eine Gleichung der Form definiert werden:
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
wobei \(A\) , \(B\) , \(C\) und \(D\) Konstanten sind und \(x\) , \(y\) und \(z\) die Koordinaten eines beliebigen Punkts auf der Ebene sind.
Der Winkel \(\theta\) zwischen zwei Linien mit den Richtungsvektoren \(\vec{v_1} = (a_1, b_1, c_1)\) und \(\vec{v_2} = (a_2, b_2, c_2)\) kann mithilfe der Skalarproduktformel ermittelt werden:
\(\cos{\theta} = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{\lVert \vec{v_1} \rVert \lVert \vec{v_2} \rVert} = \frac{a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}\sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}\)
wobei \(\lVert \vec{v_i} \rVert\) den Betrag des Vektors \(\vec{v_i}\) bezeichnet.
Die kürzeste Entfernung \(d\) von einem Punkt \((x_0, y_0, z_0)\) zu einer Ebene \(Ax + By + Cz + D = 0\) kann mithilfe der folgenden Formel ermittelt werden:
\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)
Eine durch parametrische Gleichungen definierte Linie und eine Ebene können sich in einem Punkt schneiden, parallel sein (kein Schnittpunkt) oder die Linie kann auf der Ebene liegen. Um den Schnittpunkt zu finden (falls vorhanden), setzen Sie die parametrischen Gleichungen der Linie in die Ebenengleichung ein und lösen Sie nach dem Parameter \(t\) auf.
Das 3D-Koordinatensystem ermöglicht die Berechnung von Volumen und Oberfläche geometrischer Körper wie Kugeln, Zylindern und Pyramiden. Beispielsweise beträgt das Volumen \(V\) einer Kugel mit Radius \(r\) :
\(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)
und die Oberfläche \(A\) ist:
\(A = 4\pi r^2\)
Koordinatengeometrie in 3D findet in vielen Bereichen Anwendung, beispielsweise im Ingenieurwesen, der Astronomie, der Physik und der Computergrafik. Sie hilft bei der Modellierung realer Objekte, beim Verständnis ihrer Eigenschaften und bei der Visualisierung komplexer Systeme.
Betrachten Sie zwei Punkte, \(P_1(1, 2, 3)\) und \(P_2(4, 5, 6)\) . Um den Abstand zwischen ihnen zu ermitteln, wenden wir die Abstandsformel an:
\(d = \sqrt{(4-1)^2 + (5-2)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2}\)
Gegeben seien drei Punkte auf einer Ebene \(A(1, 0, 0)\) , \(B(0, 1, 0)\) und \(C(0, 0, 1)\) Wir können die Gleichung der Ebene bestimmen, indem wir nach \(A\) , \(B\) , \(C\) und \(D\) auflösen. Eine solche Ebene, die durch diese Punkte verläuft, ist \(x + y + z - 1 = 0\) .
Die Koordinatengeometrie in 3 Dimensionen erweitert die Prinzipien von Formen, Messungen und Gleichungen von zwei auf drei Dimensionen. Das Verständnis des dreidimensionalen Koordinatensystems sowie der Gleichungen und Konzepte im Zusammenhang mit Punkten, Linien, Ebenen und Körpern vermittelt grundlegendes Wissen für die Erforschung komplexerer geometrischer und physikalischer Konzepte in realen Anwendungen.
