La geometría de coordenadas en 3 dimensiones extiende los conceptos de geometría a un espacio que incluye largo, ancho y alto. Este espacio está definido por el sistema de coordenadas cartesiano tridimensional, compuesto por tres ejes: el eje x (horizontal), el eje y (vertical) y el eje z (profundidad).
El sistema de coordenadas 3D nos permite especificar la ubicación de puntos en el espacio tridimensional usando triples ordenados \((x, y, z)\) , donde \(x\) representa la posición a lo largo del eje x, \(y\) a lo largo del eje y, y \(z\) a lo largo del eje z. El origen, denotado como \((0, 0, 0)\) , es el punto donde se cruzan los tres ejes.
La distancia \(d\) entre dos puntos \((x_1, y_1, z_1)\) y \((x_2, y_2, z_2)\) en el espacio 3D se puede calcular usando la fórmula:
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\)
Una línea en 3D se puede definir usando ecuaciones paramétricas que involucran un punto en la línea \((x_0, y_0, z_0)\) y el vector de dirección \(\vec{v} = (a, b, c)\) . Las ecuaciones paramétricas son:
\(x = x_0 + at\)
\(y = y_0 + bt\)
\(z = z_0 + ct\)
donde \(t\) es un parámetro que varía sobre los números reales.
Un plano en el espacio 3D se puede definir mediante una ecuación de la forma:
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
donde \(A\) , \(B\) , \(C\) y \(D\) son constantes, y \(x\) , \(y\) y \(z\) son las coordenadas de cualquier punto del avión.
El ángulo \(\theta\) entre dos rectas con vectores directores \(\vec{v_1} = (a_1, b_1, c_1)\) y \(\vec{v_2} = (a_2, b_2, c_2)\) puede se encuentra usando la fórmula del producto escalar:
\(\cos{\theta} = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{\lVert \vec{v_1} \rVert \lVert \vec{v_2} \rVert} = \frac{a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}\sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}\)
donde \(\lVert \vec{v_i} \rVert\) denota la magnitud del vector \(\vec{v_i}\) .
La distancia más corta \(d\) desde un punto \((x_0, y_0, z_0)\) a un plano \(Ax + By + Cz + D = 0\) se puede encontrar usando la fórmula:
\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)
Una línea definida por ecuaciones paramétricas y un plano pueden cruzarse en un punto, ser paralela (sin intersección) o la línea puede estar en el plano. Para encontrar el punto de intersección (si existe), sustituye las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación del plano y resuelve el parámetro \(t\) .
El sistema de coordenadas 3D permite calcular el volumen y el área de superficie de sólidos geométricos como esferas, cilindros y pirámides. Por ejemplo, el volumen \(V\) de una esfera con radio \(r\) es:
\(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)
y el área de superficie \(A\) es:
\(A = 4\pi r^2\)
La geometría de coordenadas en 3D tiene amplias aplicaciones en campos como la ingeniería, la astronomía, la física y los gráficos por computadora. Ayuda a modelar objetos del mundo real, comprender sus propiedades y visualizar sistemas complejos.
Considere dos puntos, \(P_1(1, 2, 3)\) y \(P_2(4, 5, 6)\) . Para encontrar la distancia entre ellos, aplicamos la fórmula de la distancia:
\(d = \sqrt{(4-1)^2 + (5-2)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2}\)
Dados tres puntos en un plano \(A(1, 0, 0)\) , \(B(0, 1, 0)\) y \(C(0, 0, 1)\) , podemos determinar el ecuación del plano resolviendo \(A\) , \(B\) , \(C\) y \(D\) . Uno de esos planos que pasa por estos puntos es \(x + y + z - 1 = 0\) .
La geometría de coordenadas en 3 dimensiones amplía los principios de formas, medidas y ecuaciones de dos dimensiones a tres. Comprender el sistema de coordenadas tridimensionales, junto con las ecuaciones y conceptos asociados con puntos, líneas, planos y sólidos, proporciona conocimientos fundamentales para explorar conceptos geométricos y físicos más complejos en aplicaciones del mundo real.
