هندسه مختصات در 3 بعدی مفاهیم هندسه را در فضایی که شامل طول، عرض و ارتفاع است گسترش می دهد. این فضا توسط سیستم مختصات دکارتی سه بعدی تعریف می شود که از سه محور تشکیل شده است: محور x (افقی)، محور y (عمودی) و محور z (عمق).
سیستم مختصات سه بعدی به ما امکان می دهد مکان نقاط را در فضای سه بعدی با استفاده از سه گانه مرتب \((x, y, z)\) مشخص کنیم که در آن \(x\) موقعیت را در امتداد محور x نشان می دهد، \(y\) در امتداد محور y و \(z\) در امتداد محور z. مبدا که با \((0, 0, 0)\) مشخص می شود، نقطه ای است که هر سه محور در آن تلاقی می کنند.
فاصله \(d\) بین دو نقطه \((x_1, y_1, z_1)\) و \((x_2, y_2, z_2)\) در فضای سه بعدی را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\)
یک خط به صورت سه بعدی را می توان با استفاده از معادلات پارامتری شامل یک نقطه در خط \((x_0, y_0, z_0)\) و بردار جهت \(\vec{v} = (a, b, c)\) . معادلات پارامتری عبارتند از:
\(x = x_0 + at\)
\(y = y_0 + bt\)
\(z = z_0 + ct\)
که در آن \(t\) پارامتری است که بر روی اعداد واقعی متفاوت است.
یک صفحه در فضای سه بعدی را می توان با یک معادله به شکل زیر تعریف کرد:
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
که در آن \(A\) ، \(B\) ، \(C\) و \(D\) ثابت هستند و \(x\) ، \(y\) و \(z\) مختصات هستند از هر نقطه در هواپیما
زاویه \(\theta\) بین دو خط با بردار جهت \(\vec{v_1} = (a_1, b_1, c_1)\) و \(\vec{v_2} = (a_2, b_2, c_2)\) می تواند با استفاده از فرمول محصول نقطه ای پیدا می شود:
\(\cos{\theta} = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{\lVert \vec{v_1} \rVert \lVert \vec{v_2} \rVert} = \frac{a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}\sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}\)
جایی که \(\lVert \vec{v_i} \rVert\) نشان دهنده بزرگی بردار \(\vec{v_i}\) است.
کوتاه ترین فاصله \(d\) از یک نقطه \((x_0, y_0, z_0)\) تا یک صفحه \(Ax + By + Cz + D = 0\) می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:
\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)
خطی که با معادلات پارامتریک تعریف می‌شود و یک صفحه می‌تواند در یک نقطه قطع شود، موازی باشد (بدون تقاطع)، یا خط می‌تواند روی صفحه قرار گیرد. برای یافتن نقطه تقاطع (در صورت وجود)، معادلات پارامتریک خط را در معادله صفحه جایگزین کرده و پارامتر \(t\) را حل کنید.
سیستم مختصات سه بعدی امکان محاسبه حجم و مساحت جامدات هندسی مانند کره ها، استوانه ها و اهرام را فراهم می کند. به عنوان مثال، حجم \(V\) یک کره با شعاع \(r\) برابر است با:
\(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)
و سطح \(A\) برابر است با:
\(A = 4\pi r^2\)
هندسه مختصات در سه بعدی کاربردهای گسترده ای در زمینه هایی مانند مهندسی، نجوم، فیزیک و گرافیک کامپیوتری دارد. این به مدل سازی اشیاء دنیای واقعی، درک خواص آنها و تجسم سیستم های پیچیده کمک می کند.
دو نقطه، \(P_1(1, 2, 3)\) و \(P_2(4, 5, 6)\) را در نظر بگیرید. برای یافتن فاصله بین آنها، فرمول فاصله را اعمال می کنیم:
\(d = \sqrt{(4-1)^2 + (5-2)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2}\)
با توجه به سه نقطه در یک صفحه \(A(1, 0, 0)\) , \(B(0, 1, 0)\) و \(C(0, 0, 1)\) می توانیم تعیین کنیم معادله هواپیما با حل \(A\) ، \(B\) ، \(C\) و \(D\) . یکی از این صفحات که از این نقاط می گذرد \(x + y + z - 1 = 0\) است.
هندسه مختصات در سه بعدی بر اساس اصول اشکال، اندازه گیری ها و معادلات از دو بعد به سه بعد گسترش می یابد. درک سیستم مختصات سه بعدی، همراه با معادلات و مفاهیم مرتبط با نقاط، خطوط، صفحات و جامدات، دانش اساسی را برای کاوش مفاهیم هندسی و فیزیکی پیچیده تر در کاربردهای دنیای واقعی فراهم می کند.
