La géométrie des coordonnées en 3 dimensions étend les concepts de géométrie dans un espace qui comprend la longueur, la largeur et la hauteur. Cet espace est défini par le système de coordonnées cartésiennes tridimensionnelles, composé de trois axes : l'axe des x (horizontal), l'axe des y (vertical) et l'axe z (profondeur).
Le système de coordonnées 3D nous permet de spécifier l'emplacement des points dans l'espace tridimensionnel à l'aide de triplets ordonnés \((x, y, z)\) , où \(x\) représente la position le long de l'axe des x, \(y\) le long de l'axe y et \(z\) le long de l'axe z. L'origine, notée \((0, 0, 0)\) , est le point d'intersection des trois axes.
La distance \(d\) entre deux points \((x_1, y_1, z_1)\) et \((x_2, y_2, z_2)\) dans l'espace 3D peut être calculée à l'aide de la formule :
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\)
Une ligne en 3D peut être définie à l'aide d'équations paramétriques impliquant un point sur la ligne \((x_0, y_0, z_0)\) et le vecteur directeur \(\vec{v} = (a, b, c)\) . Les équations paramétriques sont :
\(x = x_0 + at\)
\(y = y_0 + bt\)
\(z = z_0 + ct\)
où \(t\) est un paramètre qui varie en fonction des nombres réels.
Un plan dans l'espace 3D peut être défini par une équation de la forme :
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
où \(A\) , \(B\) , \(C\) et \(D\) sont des constantes, et \(x\) , \(y\) et \(z\) sont les coordonnées de n'importe quel point de l'avion.
L'angle \(\theta\) entre deux droites de vecteurs directeurs \(\vec{v_1} = (a_1, b_1, c_1)\) et \(\vec{v_2} = (a_2, b_2, c_2)\) peut être trouvé en utilisant la formule du produit scalaire :
\(\cos{\theta} = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{\lVert \vec{v_1} \rVert \lVert \vec{v_2} \rVert} = \frac{a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}\sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}\)
où \(\lVert \vec{v_i} \rVert\) désigne la magnitude du vecteur \(\vec{v_i}\) .
La distance la plus courte \(d\) d'un point \((x_0, y_0, z_0)\) à un plan \(Ax + By + Cz + D = 0\) peut être trouvée à l'aide de la formule :
\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)
Une ligne définie par des équations paramétriques et un plan peuvent se couper en un point, être parallèles (pas d'intersection) ou la ligne peut se trouver sur le plan. Pour trouver le point d'intersection (s'il existe), remplacez les équations paramétriques de la droite par l'équation du plan et résolvez le paramètre \(t\) .
Le système de coordonnées 3D permet de calculer le volume et la surface de solides géométriques tels que des sphères, des cylindres et des pyramides. Par exemple, le volume \(V\) d’une sphère de rayon \(r\) est :
\(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)
et la surface \(A\) est :
\(A = 4\pi r^2\)
La géométrie des coordonnées en 3D a de vastes applications dans des domaines tels que l'ingénierie, l'astronomie, la physique et l'infographie. Il aide à modéliser des objets du monde réel, à comprendre leurs propriétés et à visualiser des systèmes complexes.
Considérons deux points, \(P_1(1, 2, 3)\) et \(P_2(4, 5, 6)\) . Pour trouver la distance qui les sépare, on applique la formule de distance :
\(d = \sqrt{(4-1)^2 + (5-2)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2}\)
Étant donné trois points sur un plan \(A(1, 0, 0)\) , \(B(0, 1, 0)\) et \(C(0, 0, 1)\) , nous pouvons déterminer le l'équation du plan en résolvant \(A\) , \(B\) , \(C\) et \(D\) . Un de ces plans qui passe par ces points est \(x + y + z - 1 = 0\) .
La géométrie des coordonnées en 3 dimensions développe les principes des formes, des mesures et des équations de deux dimensions à trois dimensions. Comprendre le système de coordonnées tridimensionnelles, ainsi que les équations et les concepts associés aux points, lignes, plans et solides, fournit des connaissances fondamentales pour explorer des concepts géométriques et physiques plus complexes dans des applications du monde réel.
