3-आयामों में निर्देशांक ज्यामिति ज्यामिति की अवधारणाओं को एक ऐसे स्थान में विस्तारित करती है जिसमें लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई शामिल होती है। यह स्थान तीन-आयामी कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली द्वारा परिभाषित किया जाता है, जो तीन अक्षों से बना होता है: x-अक्ष (क्षैतिज), y-अक्ष (ऊर्ध्वाधर), और z-अक्ष (गहराई)।
3D निर्देशांक प्रणाली हमें क्रमबद्ध त्रिगुणों \((x, y, z)\) का उपयोग करके त्रि-आयामी अंतरिक्ष में बिंदुओं के स्थान को निर्दिष्ट करने की अनुमति देती है, जहाँ \(x\) x-अक्ष के साथ स्थिति को दर्शाता है, \(y\) y-अक्ष के साथ, और \(z\) z-अक्ष के साथ। मूल, \((0, 0, 0)\) के रूप में दर्शाया जाता है, वह बिंदु है जहाँ सभी तीन अक्ष एक दूसरे को काटते हैं।
3D अंतरिक्ष में दो बिंदुओं \((x_1, y_1, z_1)\) और \((x_2, y_2, z_2)\) के बीच की दूरी \(d\) की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\)
3D में एक रेखा को पैरामीट्रिक समीकरणों का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है जिसमें रेखा \((x_0, y_0, z_0)\) पर एक बिंदु और दिशा वेक्टर \(\vec{v} = (a, b, c)\) है। पैरामीट्रिक समीकरण हैं:
\(x = x_0 + at\)
\(y = y_0 + bt\)
\(z = z_0 + ct\)
जहाँ \(t\) एक पैरामीटर है जो वास्तविक संख्याओं पर बदलता रहता है।
3D अंतरिक्ष में एक समतल को निम्न समीकरण द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
जहाँ \(A\) , \(B\) , \(C\) , तथा \(D\) स्थिरांक हैं, तथा \(x\) , \(y\) , तथा \(z\) समतल पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक हैं।
दिशा सदिश \(\vec{v_1} = (a_1, b_1, c_1)\) और \(\vec{v_2} = (a_2, b_2, c_2)\) वाली दो रेखाओं के बीच का कोण \(\theta\) डॉट उत्पाद सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है:
\(\cos{\theta} = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{\lVert \vec{v_1} \rVert \lVert \vec{v_2} \rVert} = \frac{a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}\sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}\)
जहाँ \(\lVert \vec{v_i} \rVert\) सदिश \(\vec{v_i}\) के परिमाण को दर्शाता है।
एक बिंदु \((x_0, y_0, z_0)\) से एक समतल \(Ax + By + Cz + D = 0\) तक की न्यूनतम दूरी \(d\) सूत्र का उपयोग करके ज्ञात की जा सकती है:
\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)
पैरामीट्रिक समीकरणों और समतल द्वारा परिभाषित एक रेखा एक बिंदु पर प्रतिच्छेद कर सकती है, समानांतर हो सकती है (कोई प्रतिच्छेद नहीं), या रेखा समतल पर स्थित हो सकती है। प्रतिच्छेद बिंदु (यदि यह मौजूद है) को खोजने के लिए, रेखा के पैरामीट्रिक समीकरणों को समतल समीकरण में प्रतिस्थापित करें और पैरामीटर \(t\) के लिए हल करें।
3D निर्देशांक प्रणाली ज्यामितीय ठोसों जैसे गोले, सिलेंडर और पिरामिड के आयतन और सतह क्षेत्र की गणना करने की अनुमति देती है। उदाहरण के लिए, त्रिज्या \ \(r\) वाले गोले का आयतन \(V\) है:
\(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)
और पृष्ठीय क्षेत्रफल \(A\) है:
\(A = 4\pi r^2\)
3D में निर्देशांक ज्यामिति का इंजीनियरिंग, खगोल विज्ञान, भौतिकी और कंप्यूटर ग्राफिक्स जैसे क्षेत्रों में व्यापक अनुप्रयोग है। यह वास्तविक दुनिया की वस्तुओं को मॉडलिंग करने, उनके गुणों को समझने और जटिल प्रणालियों को देखने में सहायता करता है।
दो बिंदुओं \(P_1(1, 2, 3)\) और \(P_2(4, 5, 6)\) पर विचार करें। उनके बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए, हम दूरी सूत्र लागू करते हैं:
\(d = \sqrt{(4-1)^2 + (5-2)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2}\)
एक समतल पर तीन बिंदु दिए गए हैं \(A(1, 0, 0)\) , \(B(0, 1, 0)\) , तथा \(C(0, 0, 1)\) , हम \(A\) , \(B\) , \(C\) , तथा \(D\) के लिए हल करके समतल का समीकरण निर्धारित कर सकते हैं। ऐसा ही एक समतल जो इन बिंदुओं से होकर गुजरता है वह है \(x + y + z - 1 = 0\) ।
3-आयामों में निर्देशांक ज्यामिति दो आयामों से तीन आयामों तक आकृतियों, मापों और समीकरणों के सिद्धांतों का विस्तार करती है। बिंदुओं, रेखाओं, समतलों और ठोसों से जुड़े समीकरणों और अवधारणाओं के साथ-साथ त्रि-आयामी निर्देशांक प्रणाली को समझना, वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों में अधिक जटिल ज्यामितीय और भौतिक अवधारणाओं की खोज के लिए आधारभूत ज्ञान प्रदान करता है।
