Koordinatna geometrija u 3 dimenzije proširuje koncepte geometrije u prostor koji uključuje duljinu, širinu i visinu. Ovaj prostor definiran je trodimenzionalnim Kartezijevim koordinatnim sustavom, sastavljenim od tri osi: x-osi (vodoravna), y-osi (vertikalna) i z-osi (dubina).
3D koordinatni sustav omogućuje nam da odredimo položaj točaka u trodimenzionalnom prostoru pomoću uređenih trojki \((x, y, z)\) , gdje \(x\) predstavlja položaj duž x-osi, \(y\) duž y-osi i \(z\) duž z-osi. Ishodište, označeno kao \((0, 0, 0)\) , je točka u kojoj se sijeku sve tri osi.
Udaljenost \(d\) između dvije točke \((x_1, y_1, z_1)\) i \((x_2, y_2, z_2)\) u 3D prostoru može se izračunati pomoću formule:
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\)
Pravac u 3D može se definirati pomoću parametarskih jednadžbi koje uključuju točku na pravcu \((x_0, y_0, z_0)\) i vektor smjera \(\vec{v} = (a, b, c)\) . Parametarske jednadžbe su:
\(x = x_0 + at\)
\(y = y_0 + bt\)
\(z = z_0 + ct\)
gdje je \(t\) parametar koji varira preko realnih brojeva.
Ravnina u 3D prostoru može se definirati jednadžbom oblika:
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
gdje su \(A\) , \(B\) , \(C\) i \(D\) konstante, a \(x\) , \(y\) i \(z\) koordinate bilo koje točke na ravnini.
Kut \(\theta\) između dva pravca s vektorima smjera \(\vec{v_1} = (a_1, b_1, c_1)\) i \(\vec{v_2} = (a_2, b_2, c_2)\) može pronaći pomoću formule točkastog umnoška:
\(\cos{\theta} = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{\lVert \vec{v_1} \rVert \lVert \vec{v_2} \rVert} = \frac{a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}\sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}\)
gdje \(\lVert \vec{v_i} \rVert\) označava veličinu vektora \(\vec{v_i}\) .
Najkraća udaljenost \(d\) od točke \((x_0, y_0, z_0)\) do ravnine \(Ax + By + Cz + D = 0\) može se pronaći pomoću formule:
\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)
Pravac definiran parametarskim jednadžbama i ravnina mogu se sijeći u točki, biti paralelni (bez sjecišta) ili pravac može ležati na ravnini. Da biste pronašli točku presjeka (ako postoji), zamijenite parametarske jednadžbe pravca u jednadžbu ravnine i riješite parametar \(t\) .
3D koordinatni sustav omogućuje izračun volumena i površine geometrijskih tijela kao što su kugle, cilindri i piramide. Na primjer, volumen \(V\) sfere polumjera \(r\) je:
\(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)
a površina \(A\) je:
\(A = 4\pi r^2\)
Koordinatna geometrija u 3D ima široku primjenu u područjima kao što su inženjerstvo, astronomija, fizika i računalna grafika. Pomaže u modeliranju objekata iz stvarnog svijeta, razumijevanju njihovih svojstava i vizualizaciji složenih sustava.
Razmotrite dvije točke, \(P_1(1, 2, 3)\) i \(P_2(4, 5, 6)\) . Da bismo pronašli udaljenost između njih, primijenimo formulu udaljenosti:
\(d = \sqrt{(4-1)^2 + (5-2)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2}\)
Date su tri točke na ravnini \(A(1, 0, 0)\) , \(B(0, 1, 0)\) i \(C(0, 0, 1)\) , možemo odrediti jednadžbu ravnine rješavanjem za \(A\) , \(B\) , \(C\) i \(D\) . Jedna takva ravnina koja prolazi kroz te točke je \(x + y + z - 1 = 0\) .
Koordinatna geometrija u 3 dimenzije proširuje načela oblika, mjerenja i jednadžbi s dvije dimenzije na tri. Razumijevanje trodimenzionalnog koordinatnog sustava, zajedno s jednadžbama i konceptima povezanim s točkama, linijama, ravninama i tijelima, pruža temeljno znanje za istraživanje složenijih geometrijskih i fizičkih koncepata u stvarnim aplikacijama.
