Geometri koordinat dalam 3 dimensi memperluas konsep geometri ke dalam ruang yang mencakup panjang, lebar, dan tinggi. Ruang ini ditentukan oleh sistem koordinat Kartesius tiga dimensi, yang terdiri dari tiga sumbu: sumbu x (horizontal), sumbu y (vertikal), dan sumbu z (kedalaman).
Sistem koordinat 3D memungkinkan kita menentukan lokasi titik-titik dalam ruang tiga dimensi menggunakan rangkap tiga \((x, y, z)\) , di mana \(x\) mewakili posisi sepanjang sumbu x, \(y\) sepanjang sumbu y, dan \(z\) sepanjang sumbu z. Titik asal, dilambangkan dengan \((0, 0, 0)\) , adalah titik perpotongan ketiga sumbu.
Jarak \(d\) antara dua titik \((x_1, y_1, z_1)\) dan \((x_2, y_2, z_2)\) dalam ruang 3D dapat dihitung dengan menggunakan rumus:
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\)
Suatu garis dalam 3D dapat didefinisikan menggunakan persamaan parametrik yang melibatkan suatu titik pada garis \((x_0, y_0, z_0)\) dan vektor arah \(\vec{v} = (a, b, c)\) . Persamaan parametriknya adalah:
\(x = x_0 + at\)
\(y = y_0 + bt\)
\(z = z_0 + ct\)
dimana \(t\) adalah parameter yang bervariasi terhadap bilangan real.
Sebuah bidang dalam ruang 3D dapat didefinisikan dengan persamaan bentuk:
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
di mana \(A\) , \(B\) , \(C\) , dan \(D\) adalah konstanta, dan \(x\) , \(y\) , dan \(z\) adalah koordinatnya dari titik mana pun di pesawat.
Sudut \(\theta\) antara dua garis dengan vektor arah \(\vec{v_1} = (a_1, b_1, c_1)\) dan \(\vec{v_2} = (a_2, b_2, c_2)\) dapat dapat dicari dengan menggunakan rumus perkalian titik:
\(\cos{\theta} = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{\lVert \vec{v_1} \rVert \lVert \vec{v_2} \rVert} = \frac{a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}\sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}\)
dimana \(\lVert \vec{v_i} \rVert\) menunjukkan besarnya vektor \(\vec{v_i}\) .
Jarak terpendek \(d\) dari titik \((x_0, y_0, z_0)\) ke bidang \(Ax + By + Cz + D = 0\) dapat dicari dengan rumus:
\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)
Garis yang ditentukan oleh persamaan parametrik dan sebuah bidang dapat berpotongan di suatu titik, sejajar (tidak ada perpotongan), atau garis tersebut dapat terletak pada bidang tersebut. Untuk mencari titik potong (jika ada), substitusikan persamaan parametrik garis ke dalam persamaan bidang dan selesaikan parameternya \(t\) .
Sistem koordinat 3D memungkinkan penghitungan volume dan luas permukaan benda geometris seperti bola, silinder, dan piramida. Misalnya, volume \(V\) sebuah bola dengan jari-jari \(r\) adalah:
\(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)
dan luas permukaan \(A\) adalah:
\(A = 4\pi r^2\)
Geometri koordinat dalam 3D memiliki aplikasi luas di berbagai bidang seperti teknik, astronomi, fisika, dan grafik komputer. Ini membantu dalam memodelkan objek dunia nyata, memahami propertinya, dan memvisualisasikan sistem yang kompleks.
Pertimbangkan dua titik, \(P_1(1, 2, 3)\) dan \(P_2(4, 5, 6)\) . Untuk mencari jarak antara keduanya, kita menerapkan rumus jarak:
\(d = \sqrt{(4-1)^2 + (5-2)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2}\)
Diberikan tiga titik pada bidang \(A(1, 0, 0)\) , \(B(0, 1, 0)\) , dan \(C(0, 0, 1)\) , kita dapat menentukan persamaan bidang dengan menyelesaikan \(A\) , \(B\) , \(C\) , dan \(D\) . Salah satu bidang yang melalui titik-titik ini adalah \(x + y + z - 1 = 0\) .
Geometri koordinat dalam 3 dimensi memperluas prinsip bentuk, pengukuran, dan persamaan dari dua dimensi menjadi tiga. Memahami sistem koordinat tiga dimensi, beserta persamaan dan konsep yang terkait dengan titik, garis, bidang, dan benda padat, memberikan pengetahuan dasar untuk mengeksplorasi konsep geometri dan fisika yang lebih kompleks dalam aplikasi dunia nyata.
