La geometria delle coordinate in 3 dimensioni estende i concetti di geometria in uno spazio che include lunghezza, larghezza e altezza. Questo spazio è definito dal sistema di coordinate cartesiane tridimensionale, composto da tre assi: l'asse x (orizzontale), l'asse y (verticale) e l'asse z (profondità).
Il sistema di coordinate 3D ci consente di specificare la posizione dei punti nello spazio tridimensionale utilizzando triple ordinate \((x, y, z)\) , dove \(x\) rappresenta la posizione lungo l'asse x, \(y\) lungo l'asse y e \(z\) lungo l'asse z. L'origine, indicata come \((0, 0, 0)\) , è il punto in cui si intersecano tutti e tre gli assi.
La distanza \(d\) tra due punti \((x_1, y_1, z_1)\) e \((x_2, y_2, z_2)\) nello spazio 3D può essere calcolata utilizzando la formula:
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\)
Una linea in 3D può essere definita utilizzando equazioni parametriche che coinvolgono un punto sulla linea \((x_0, y_0, z_0)\) e il vettore di direzione \(\vec{v} = (a, b, c)\) . Le equazioni parametriche sono:
\(x = x_0 + at\)
\(y = y_0 + bt\)
\(z = z_0 + ct\)
dove \(t\) è un parametro che varia sui numeri reali.
Un piano nello spazio 3D può essere definito da un'equazione della forma:
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
dove \(A\) , \(B\) , \(C\) e \(D\) sono costanti e \(x\) , \(y\) e \(z\) sono le coordinate di qualsiasi punto del piano.
L'angolo \(\theta\) tra due linee con vettori di direzione \(\vec{v_1} = (a_1, b_1, c_1)\) e \(\vec{v_2} = (a_2, b_2, c_2)\) può essere trovato utilizzando la formula del prodotto scalare:
\(\cos{\theta} = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{\lVert \vec{v_1} \rVert \lVert \vec{v_2} \rVert} = \frac{a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}\sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}\)
dove \(\lVert \vec{v_i} \rVert\) denota la grandezza del vettore \(\vec{v_i}\) .
La distanza più breve \(d\) da un punto \((x_0, y_0, z_0)\) a un piano \(Ax + By + Cz + D = 0\) può essere trovata utilizzando la formula:
\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)
Una linea definita da equazioni parametriche e un piano può intersecarsi in un punto, essere parallela (nessuna intersezione) oppure la linea può giacere sul piano. Per trovare il punto di intersezione (se esiste), sostituisci le equazioni parametriche della retta nell'equazione del piano e risolvi il parametro \(t\) .
Il sistema di coordinate 3D consente il calcolo del volume e dell'area superficiale di solidi geometrici come sfere, cilindri e piramidi. Ad esempio, il volume \(V\) di una sfera con raggio \(r\) è:
\(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)
e la superficie \(A\) è:
\(A = 4\pi r^2\)
La geometria delle coordinate in 3D ha vaste applicazioni in campi quali ingegneria, astronomia, fisica e computer grafica. Aiuta a modellare oggetti del mondo reale, a comprenderne le proprietà e a visualizzare sistemi complessi.
Consideriamo due punti, \(P_1(1, 2, 3)\) e \(P_2(4, 5, 6)\) . Per trovare la distanza tra loro, applichiamo la formula della distanza:
\(d = \sqrt{(4-1)^2 + (5-2)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2}\)
Dati tre punti su un piano \(A(1, 0, 0)\) , \(B(0, 1, 0)\) , e \(C(0, 0, 1)\) , possiamo determinare il l'equazione del piano risolvendo \(A\) , \(B\) , \(C\) e \(D\) . Uno di questi piani che passa attraverso questi punti è \(x + y + z - 1 = 0\) .
La geometria delle coordinate in 3 dimensioni espande i principi di forme, misurazioni ed equazioni da due a tre dimensioni. Comprendere il sistema di coordinate tridimensionale, insieme alle equazioni e ai concetti associati a punti, linee, piani e solidi, fornisce conoscenze fondamentali per esplorare concetti geometrici e fisici più complessi nelle applicazioni del mondo reale.
