3 次元の座標幾何学は、幾何学の概念を長さ、幅、高さを含む空間に拡張します。この空間は、x 軸 (水平)、y 軸 (垂直)、z 軸 (奥行き) の 3 つの軸で構成される 3 次元の直交座標系によって定義されます。
3D 座標系\((x, y, z)\)という順序付き 3 要素を使用して 3 次元空間内の点の位置を指定できます。ここで、 \(x\) x 軸に沿った位置、 \(y\) y 軸に沿った位置、 \(z\) z 軸に沿った位置を表します。 \((0, 0, 0)\)と表される原点は、3 つの軸すべてが交差する点です。
3D 空間内の 2 つの点\((x_1, y_1, z_1)\)と\((x_2, y_2, z_2)\)間の距離\(d\)次の式を使用して計算できます。
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\)
3D の線は、線上の点\((x_0, y_0, z_0)\)と方向ベクトル\(\vec{v} = (a, b, c)\)を含むパラメトリック方程式を使用して定義できます。パラメトリック方程式は次のとおりです。
\(x = x_0 + at\)
\(y = y_0 + bt\)
\(z = z_0 + ct\)
ここで、 \(t\)実数に応じて変化するパラメータです。
3D 空間の平面は、次の形式の方程式で定義できます。
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
ここで、 \(A\) 、 \(B\) 、 \(C\) 、および\(D\)は定数であり、 \(x\) 、 \(y\) 、および\(z\)平面上の任意の点の座標です。
方向ベクトル\(\vec{v_1} = (a_1, b_1, c_1)\)と \(\vec{v_2} = (a_2, b_2, c_2)\) を持つ 2 本の線の間の角度\(\theta\) \(\vec{v_2} = (a_2, b_2, c_2)\)ドット積の式を使用して求めることができます。
\(\cos{\theta} = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{\lVert \vec{v_1} \rVert \lVert \vec{v_2} \rVert} = \frac{a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}\sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}\)
ここで\(\lVert \vec{v_i} \rVert\)ベクトル\(\vec{v_i}\)の大きさを表します。
点\((x_0, y_0, z_0)\)から平面\(Ax + By + Cz + D = 0\)までの最短距離\(d\)次の式を使用して求められます。
\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)
パラメトリック方程式と平面によって定義された線は、1 点で交差するか、平行になるか (交差なし)、または平面上にある可能性があります。交差点 (存在する場合) を見つけるには、直線のパラメトリック方程式を平面方程式に代入し、パラメーター\(t\)を解きます。
3D 座標系を使用すると、球、円柱、ピラミッドなどの幾何学的立体の体積と表面積を計算できます。たとえば、半径\(r\)の球の体積\(V\)は次のようになります。
\(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)
表面積\(A\)次のように表されます。
\(A = 4\pi r^2\)
3D 座標幾何学は、工学、天文学、物理学、コンピュータ グラフィックスなどの分野で幅広く応用されています。現実世界のオブジェクトのモデリング、その特性の理解、複雑なシステムの視覚化に役立ちます。
2つの点\(P_1(1, 2, 3)\)と\(P_2(4, 5, 6)\)を考えます。それらの間の距離を求めるには、距離の公式を適用します。
\(d = \sqrt{(4-1)^2 + (5-2)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2}\)
平面上の3点\(A(1, 0, 0)\) 、 \(B(0, 1, 0)\) 、 \(C(0, 0, 1)\)が与えられた場合、 \(A\) 、 \(B\) 、 \(C\) 、 \(D\)を解くことで平面の方程式を決定できます。これらの点を通る平面の1つは\(x + y + z - 1 = 0\)です。
3 次元の座標幾何学は、2 次元から 3 次元までの形状、測定、方程式の原理を拡張します。3 次元座標系、および点、線、平面、立体に関連する方程式と概念を理解することで、現実世界のアプリケーションでより複雑な幾何学的および物理的概念を探求するための基礎知識が得られます。
