Координативната геометрија во 3-димензии ги проширува концептите на геометријата во простор кој вклучува должина, ширина и висина. Овој простор е дефиниран со тродимензионалниот Декартов координатен систем, составен од три оски: x-оска (хоризонтална), y-оска (вертикална) и z-оска (длабочина).
3D координатен систем ни овозможува да ја одредиме локацијата на точките во тродимензионалниот простор користејќи подредени тројки \((x, y, z)\) , каде што \(x\) ја претставува позицијата долж оската x, \(y\) по должината на y-оската и \(z\) по должината на z-оската. Потеклото, означено како \((0, 0, 0)\) , е точката каде што се сечат сите три оски.
Растојанието \(d\) помеѓу две точки \((x_1, y_1, z_1)\) и \((x_2, y_2, z_2)\) во 3D простор може да се пресмета со формулата:
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\)
Права во 3D може да се дефинира со помош на параметарски равенки кои вклучуваат точка на правата \((x_0, y_0, z_0)\) и векторот на насока \(\vec{v} = (a, b, c)\) . Параметарските равенки се:
\(x = x_0 + at\)
\(y = y_0 + bt\)
\(z = z_0 + ct\)
каде \(t\) е параметар кој варира во однос на реалните броеви.
Рамнина во 3D простор може да се дефинира со равенка од формата:
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
каде \(A\) , \(B\) , \(C\) и \(D\) се константи, а \(x\) , \(y\) и \(z\) се координатите од која било точка на авионот.
Аголот \(\theta\) помеѓу две прави со вектори на насока \(\vec{v_1} = (a_1, b_1, c_1)\) и \(\vec{v_2} = (a_2, b_2, c_2)\) може може да се најде со помош на формулата за производ со точки:
\(\cos{\theta} = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{\lVert \vec{v_1} \rVert \lVert \vec{v_2} \rVert} = \frac{a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}\sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}\)
каде што \(\lVert \vec{v_i} \rVert\) ја означува големината на векторот \(\vec{v_i}\) .
Најкраткото растојание \(d\) од точка \((x_0, y_0, z_0)\) до рамнината \(Ax + By + Cz + D = 0\) може да се најде со помош на формулата:
\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)
Права дефинирана со параметарски равенки и рамнина може да се сечат во точка, да бидат паралелни (без пресек) или правата може да лежи на рамнината. За да ја пронајдете точката на пресек (ако постои), заменете ги параметарските равенки на правата во равенката на рамнината и решете го параметарот \(t\) .
3D координатен систем овозможува пресметување на волуменот и површината на геометриските цврсти материи како што се сфери, цилиндри и пирамиди. На пример, волуменот \(V\) на сфера со радиус \(r\) е:
\(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)
а површината \(A\) е:
\(A = 4\pi r^2\)
Геометријата на координатите во 3D има огромни апликации во области како што се инженерството, астрономијата, физиката и компјутерската графика. Помага во моделирање на објекти од реалниот свет, разбирање на нивните својства и визуелизација на сложени системи.
Размислете за две точки, \(P_1(1, 2, 3)\) и \(P_2(4, 5, 6)\) . За да го пронајдеме растојанието меѓу нив, ја применуваме формулата за растојание:
\(d = \sqrt{(4-1)^2 + (5-2)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2}\)
Со оглед на три точки на рамнината \(A(1, 0, 0)\) , \(B(0, 1, 0)\) и \(C(0, 0, 1)\) , можеме да го одредиме равенка на рамнина со решавање на \(A\) , \(B\) , \(C\) и \(D\) . Една таква рамнина што минува низ овие точки е \(x + y + z - 1 = 0\) .
Геометријата на координатите во 3-димензиони се проширува врз принципите на форми, мерења и равенки од две димензии на три. Разбирањето на тродимензионалниот координатен систем, заедно со равенките и концептите поврзани со точки, прави, рамнини и цврсти тела, обезбедува основни знаења за истражување на посложени геометриски и физички концепти во апликации во реалниот свет.
