3 хэмжээст дэх координатын геометр нь геометрийн тухай ойлголтыг урт, өргөн, өндрийг багтаасан орон зай болгон өргөжүүлдэг. Энэ орон зай нь x тэнхлэг (хэвтээ), у тэнхлэг (босоо), z тэнхлэг (гүн) гэсэн гурван тэнхлэгээс бүрдэх гурван хэмжээст декартын координатын системээр тодорхойлогддог.
3D координатын систем нь гурван хэмжээст орон зай дахь цэгүүдийн байршлыг эрэмбэлэгдсэн гурвалсан тоог ашиглан тодорхойлох боломжийг бидэнд олгодог \((x, y, z)\) , \(x\) нь x тэнхлэгийн дагуух байрлалыг илэрхийлнэ, \(y\) ) \(y\) y тэнхлэгийн дагуу, \(z\) z тэнхлэгийн дагуу. \((0, 0, 0)\) гэж тэмдэглэсэн гарал үүсэл нь бүх гурван тэнхлэг огтлолцох цэг юм.
3 хэмжээст орон зай дахь \((x_1, y_1, z_1)\) ба \((x_2, y_2, z_2)\) хоёр цэгийн хоорондох \(d\) зайг дараах томъёогоор тооцоолж болно.
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\)
3D шугамыг \((x_0, y_0, z_0)\) шугамын цэг болон \(\vec{v} = (a, b, c)\) чиглэлийн векторыг оролцуулсан параметрийн тэгшитгэлийг ашиглан тодорхойлж болно. Параметрийн тэгшитгэлүүд нь:
\(x = x_0 + at\)
\(y = y_0 + bt\)
\(z = z_0 + ct\)
Энд \(t\) нь бодит тооноос хамаарч өөр өөр параметр юм.
3D орон зай дахь хавтгайг дараах хэлбэрийн тэгшитгэлээр тодорхойлж болно.
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
Энд \(A\) , \(B\) , \(C\) ба \(D\) нь тогтмол, \(x\) , \(y\) ба \(z\) нь координатууд юм. онгоцны аль ч цэгийн .
\(\vec{v_1} = (a_1, b_1, c_1)\) ба \(\vec{v_2} = (a_2, b_2, c_2)\) чиглэлийн вектор бүхий хоёр шулууны хоорондох \(\theta\) өнцөг цэгийн бүтээгдэхүүний томъёог ашиглан олно:
\(\cos{\theta} = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{\lVert \vec{v_1} \rVert \lVert \vec{v_2} \rVert} = \frac{a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}\sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}\)
Энд \(\lVert \vec{v_i} \rVert\) нь \(\vec{v_i}\) векторын хэмжээг илэрхийлнэ.
\((x_0, y_0, z_0)\) цэгээс \(Ax + By + Cz + D = 0\) хүртэлх хамгийн богино зайг \(d\) томъёогоор олж болно.
\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)
Параметрийн тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон шулуун ба хавтгай нь нэг цэг дээр огтлолцох, параллель (огтлолт байхгүй) эсвэл шулуун нь хавтгай дээр хэвтэж болно. Огтлолцох цэгийг (хэрэв байгаа бол) олохын тулд шугамын параметрийн тэгшитгэлийг хавтгай тэгшитгэлд орлуулж, \(t\) параметрийг шийднэ үү.
3D координатын систем нь бөмбөрцөг, цилиндр, пирамид зэрэг геометрийн хатуу биетүүдийн эзэлхүүн ба гадаргуугийн талбайг тооцоолох боломжийг олгодог. Жишээлбэл, \(r\) радиустай бөмбөрцгийн \(V\) \(r\) нь:
\(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)
ба гадаргуугийн талбай \(A\) нь:
\(A = 4\pi r^2\)
3D дэх координатын геометр нь инженерчлэл, одон орон судлал, физик, компьютер график зэрэг салбарт өргөн хэрэглэгддэг. Энэ нь бодит ертөнцийн объектуудыг загварчлах, тэдгээрийн шинж чанарыг ойлгох, нарийн төвөгтэй системийг дүрслэн харуулахад тусалдаг.
\(P_1(1, 2, 3)\) ба \(P_2(4, 5, 6)\) гэсэн хоёр цэгийг авч үзье. Тэдний хоорондох зайг олохын тулд бид зайны томъёог хэрэглэнэ.
\(d = \sqrt{(4-1)^2 + (5-2)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2}\)
\(A(1, 0, 0)\) , \(B(0, 1, 0)\) ба \(C(0, 0, 1)\) гурван цэгийг хавтгайд өгвөл бид дараахыг тодорхойлж болно. \(A\) , \(B\) , \(C\) болон \(D\) -ийг шийдэх замаар онгоцны тэгшитгэл. Эдгээр цэгүүдийг дайран өнгөрдөг нэг ийм хавтгай нь \(x + y + z - 1 = 0\) юм.
3 хэмжээст дэх координатын геометр нь хэлбэр, хэмжилт, тэгшитгэлийн зарчмууд дээр хоёр хэмжээстээс гурван хэмжээст хүртэл өргөждөг. Гурван хэмжээст координатын системийг цэг, шулуун, хавтгай, хатуу биеттэй холбоотой тэгшитгэл, ойлголтын хамт ойлгох нь бодит амьдрал дахь илүү төвөгтэй геометрийн болон физик ойлголтуудыг судлах суурь мэдлэгийг өгдөг.
