3-आयामहरूमा ज्यामिति समन्वय गर्नुहोस् जसले लम्बाइ, चौडाइ र उचाइ समावेश गर्ने ठाउँमा ज्यामितिका अवधारणाहरू विस्तार गर्दछ। यो स्पेस तीन-आयामी कार्टेसियन समन्वय प्रणाली द्वारा परिभाषित गरिएको छ, तीन अक्षहरू मिलेर बनेको छ: x-अक्ष (तेर्सो), y-अक्ष (ठाडो), र z-अक्ष (गहिराइ)।
थ्रीडी समन्वय प्रणालीले हामीलाई क्रमबद्ध ट्रिपलहरू \((x, y, z)\) प्रयोग गरेर त्रि-आयामिक ठाउँमा बिन्दुहरूको स्थान निर्दिष्ट गर्न अनुमति दिन्छ, जहाँ \(x\) x-अक्ष, \(y\) ) को साथ स्थिति प्रतिनिधित्व गर्दछ। \(y\) y-अक्षको साथमा, र \(z\) z-अक्षको साथ। उत्पत्ति, \((0, 0, 0)\) को रूपमा जनाइएको, सबै तीन अक्षहरू मिल्ने बिन्दु हो।
थ्रीडी स्पेसमा दुई बिन्दुहरू \((x_1, y_1, z_1)\) र \((x_2, y_2, z_2)\) बीचको दूरी \(d\) सूत्र प्रयोग गरेर गणना गर्न सकिन्छ:
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\)
3D मा रेखा लाई रेखा \((x_0, y_0, z_0)\) र दिशा भेक्टर \(\vec{v} = (a, b, c)\) मा बिन्दु समावेश पारामितीय समीकरणहरू प्रयोग गरेर परिभाषित गर्न सकिन्छ। प्यारामेट्रिक समीकरणहरू हुन्:
\(x = x_0 + at\)
\(y = y_0 + bt\)
\(z = z_0 + ct\)
जहाँ \(t\) एक प्यारामिटर हो जुन वास्तविक संख्याहरूमा भिन्न हुन्छ।
3D स्पेस मा एक विमान फारम को एक समीकरण द्वारा परिभाषित गर्न सकिन्छ:
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
जहाँ \(A\) , \(B\) , \(C\) , र \(D\) स्थिरांक हुन्, र \(x\) , \(y\) , र \(z\) समन्वयक हुन्। विमानमा कुनै पनि बिन्दुको।
कोण \(\theta\) दिशा भेक्टरहरू भएका दुई रेखाहरू बीचको कोण \(\vec{v_1} = (a_1, b_1, c_1)\) र \(\vec{v_2} = (a_2, b_2, c_2)\) सक्छ। डट उत्पादन सूत्र प्रयोग गरेर फेला पार्नुहोस्:
\(\cos{\theta} = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{\lVert \vec{v_1} \rVert \lVert \vec{v_2} \rVert} = \frac{a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}\sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}\)
जहाँ \(\lVert \vec{v_i} \rVert\) भेक्टरको परिमाण \(\vec{v_i}\) जनाउँछ।
सबैभन्दा छोटो दूरी \(d\) बिन्दु \((x_0, y_0, z_0)\) देखि विमान \(Ax + By + Cz + D = 0\) सूत्र प्रयोग गरेर फेला पार्न सकिन्छ:
\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)
प्यारामेट्रिक समीकरणहरू द्वारा परिभाषित रेखा र विमानले बिन्दुमा काट्न सक्छ, समानान्तर हुन सक्छ (कुनै प्रतिच्छेदन छैन), वा रेखा विमानमा हुन सक्छ। प्रतिच्छेदन बिन्दु पत्ता लगाउन (यदि अवस्थित छ भने), रेखाको प्यारामेट्रिक समीकरणहरूलाई समतल समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस् र प्यारामिटर \(t\) को लागि समाधान गर्नुहोस्।
3D समन्वय प्रणालीले गोलाकार, सिलिन्डर र पिरामिडहरू जस्ता ज्यामितीय ठोसहरूको भोल्युम र सतह क्षेत्रको गणना गर्न अनुमति दिन्छ। उदाहरणका लागि, त्रिज्या \ \(r\) भएको गोलाको भोल्युम \(V\) हो:
\(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)
र सतह क्षेत्र \(A\) हो:
\(A = 4\pi r^2\)
3D मा समन्वय ज्यामितिमा इन्जिनियरिङ, खगोल विज्ञान, भौतिक विज्ञान, र कम्प्युटर ग्राफिक्स जस्ता क्षेत्रहरूमा विशाल अनुप्रयोगहरू छन्। यसले वास्तविक-विश्व वस्तुहरू मोडेल गर्न, तिनीहरूको गुणहरू बुझ्न, र जटिल प्रणालीहरू कल्पना गर्न मद्दत गर्दछ।
दुई बिन्दुहरू विचार गर्नुहोस्, \(P_1(1, 2, 3)\) र \(P_2(4, 5, 6)\) । तिनीहरू बीचको दूरी पत्ता लगाउन, हामी दूरी सूत्र लागू गर्छौं:
\(d = \sqrt{(4-1)^2 + (5-2)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2}\)
विमानमा तीनवटा बिन्दुहरू दिए \(A(1, 0, 0)\) , \(B(0, 1, 0)\) , र \(C(0, 0, 1)\) , हामी निर्धारण गर्न सक्छौं। \(A\) , \(B\) , \(C\) , र \(D\) को लागि समाधान गरेर विमानको समीकरण। यी बिन्दुहरूबाट गुजरने एउटा यस्तो विमान \(x + y + z - 1 = 0\) हो।
3-आयामहरूमा ज्यामिति समन्वय गर्नुहोस् आकार, मापन, र समीकरणका सिद्धान्तहरूमा दुई आयामबाट तीनमा विस्तार हुन्छ। बिन्दुहरू, रेखाहरू, विमानहरू, र ठोसहरूसँग सम्बन्धित समीकरणहरू र अवधारणाहरू सहित, त्रि-आयामी समन्वय प्रणाली बुझ्ने, वास्तविक-विश्व अनुप्रयोगहरूमा थप जटिल ज्यामितीय र भौतिक अवधारणाहरू अन्वेषण गर्न आधारभूत ज्ञान प्रदान गर्दछ।
