Coördinaatgeometrie in 3 dimensies breidt de concepten van geometrie uit naar een ruimte die lengte, breedte en hoogte omvat. Deze ruimte wordt gedefinieerd door het driedimensionale Cartesiaanse coördinatensysteem, bestaande uit drie assen: de x-as (horizontaal), y-as (verticaal) en z-as (diepte).
Met het 3D-coördinatensysteem kunnen we de locatie van punten in de driedimensionale ruimte specificeren met behulp van geordende triples \((x, y, z)\) , waarbij \(x\) de positie langs de x-as vertegenwoordigt, \(y\) langs de y-as, en \(z\) langs de z-as. De oorsprong, aangegeven als \((0, 0, 0)\) , is het punt waar alle drie de assen elkaar snijden.
De afstand \(d\) tussen twee punten \((x_1, y_1, z_1)\) en \((x_2, y_2, z_2)\) in de 3D-ruimte kan worden berekend met behulp van de formule:
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\)
Een lijn in 3D kan worden gedefinieerd met behulp van parametrische vergelijkingen met een punt op de lijn \((x_0, y_0, z_0)\) en de richtingsvector \(\vec{v} = (a, b, c)\) . De parametervergelijkingen zijn:
\(x = x_0 + at\)
\(y = y_0 + bt\)
\(z = z_0 + ct\)
waarbij \(t\) een parameter is die varieert over de reële getallen.
Een vlak in de 3D-ruimte kan worden gedefinieerd door een vergelijking van de vorm:
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
waarbij \(A\) , \(B\) , \(C\) en \(D\) constanten zijn, en \(x\) , \(y\) en \(z\) de coördinaten zijn van welk punt dan ook in het vlak.
De hoek \(\theta\) tussen twee lijnen met richtingsvectoren \(\vec{v_1} = (a_1, b_1, c_1)\) en \(\vec{v_2} = (a_2, b_2, c_2)\) kan te vinden met behulp van de puntproductformule:
\(\cos{\theta} = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{\lVert \vec{v_1} \rVert \lVert \vec{v_2} \rVert} = \frac{a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}\sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}\)
waarbij \(\lVert \vec{v_i} \rVert\) de grootte van vector \(\vec{v_i}\) aangeeft.
De kortste afstand \(d\) van een punt \((x_0, y_0, z_0)\) naar een vlak \(Ax + By + Cz + D = 0\) kun je vinden met de formule:
\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)
Een lijn gedefinieerd door parametervergelijkingen en een vlak kunnen elkaar snijden in een punt, evenwijdig zijn (geen snijpunt), of de lijn kan in het vlak liggen. Om het snijpunt te vinden (indien aanwezig), vervangt u de parametervergelijkingen van de lijn door de vlakvergelijking en lost u de parameter \(t\) op.
Het 3D-coördinatensysteem maakt de berekening van het volume en de oppervlakte van geometrische vaste stoffen zoals bollen, cilinders en piramides mogelijk. Het volume \(V\) van een bol met straal \(r\) is bijvoorbeeld:
\(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)
en de oppervlakte \(A\) is:
\(A = 4\pi r^2\)
Coördinaatgeometrie in 3D heeft enorme toepassingen op gebieden als techniek, astronomie, natuurkunde en computergraphics. Het helpt bij het modelleren van objecten uit de echte wereld, het begrijpen van hun eigenschappen en het visualiseren van complexe systemen.
Beschouw twee punten, \(P_1(1, 2, 3)\) en \(P_2(4, 5, 6)\) . Om de afstand ertussen te vinden, passen we de afstandsformule toe:
\(d = \sqrt{(4-1)^2 + (5-2)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2}\)
Gegeven drie punten op een vlak \(A(1, 0, 0)\) , \(B(0, 1, 0)\) en \(C(0, 0, 1)\) , kunnen we de de vergelijking van het vlak door \(A\) , \(B\) , \(C\) en \(D\) op te lossen. Eén zo'n vlak dat door deze punten gaat is \(x + y + z - 1 = 0\) .
Coördinaatgeometrie in 3 dimensies breidt de principes van vormen, metingen en vergelijkingen uit van twee dimensies naar drie. Het begrijpen van het driedimensionale coördinatensysteem, samen met vergelijkingen en concepten die verband houden met punten, lijnen, vlakken en vaste lichamen, biedt fundamentele kennis voor het verkennen van complexere geometrische en fysieke concepten in toepassingen in de echte wereld.
