Geometria współrzędnych w trzech wymiarach rozszerza koncepcje geometrii na przestrzeń obejmującą długość, szerokość i wysokość. Przestrzeń ta jest definiowana przez trójwymiarowy kartezjański układ współrzędnych, składający się z trzech osi: osi x (poziomej), osi y (pionowej) i osi z (głębokości).
Układ współrzędnych 3D pozwala nam określić położenie punktów w przestrzeni trójwymiarowej za pomocą uporządkowanych trójek \((x, y, z)\) , gdzie \(x\) reprezentuje położenie wzdłuż osi x, \(y\) wzdłuż osi y i \(z\) wzdłuż osi z. Początek, oznaczony jako \((0, 0, 0)\) , to punkt, w którym przecinają się wszystkie trzy osie.
Odległość \(d\) pomiędzy dwoma punktami \((x_1, y_1, z_1)\) i \((x_2, y_2, z_2)\) w przestrzeni 3D można obliczyć za pomocą wzoru:
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\)
Linię w 3D można zdefiniować za pomocą równań parametrycznych obejmujących punkt na linii \((x_0, y_0, z_0)\) i wektor kierunkowy \(\vec{v} = (a, b, c)\) . Równania parametryczne to:
\(x = x_0 + at\)
\(y = y_0 + bt\)
\(z = z_0 + ct\)
gdzie \(t\) jest parametrem, który zmienia się w zależności od liczb rzeczywistych.
Płaszczyznę w przestrzeni 3D można zdefiniować równaniem postaci:
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
gdzie \(A\) , \(B\) , \(C\) i \(D\) to stałe, a \(x\) , \(y\) i \(z\) to współrzędne dowolnego punktu na płaszczyźnie.
Kąt \(\theta\) pomiędzy dwiema liniami o wektorach kierunkowych \(\vec{v_1} = (a_1, b_1, c_1)\) i \(\vec{v_2} = (a_2, b_2, c_2)\) może można znaleźć za pomocą wzoru na iloczyn skalarny:
\(\cos{\theta} = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{\lVert \vec{v_1} \rVert \lVert \vec{v_2} \rVert} = \frac{a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}\sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}\)
gdzie \(\lVert \vec{v_i} \rVert\) oznacza wielkość wektora \(\vec{v_i}\) .
Najkrótszą odległość \(d\) od punktu \((x_0, y_0, z_0)\) do płaszczyzny \(Ax + By + Cz + D = 0\) można znaleźć korzystając ze wzoru:
\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)
Linia zdefiniowana przez równania parametryczne i płaszczyzna mogą przecinać się w punkcie, być równoległe (bez przecięcia) lub linia może leżeć na płaszczyźnie. Aby znaleźć punkt przecięcia (jeśli istnieje), podstaw równania parametryczne prostej do równania płaszczyzny i oblicz parametr \(t\) .
Układ współrzędnych 3D umożliwia obliczanie objętości i pola powierzchni brył geometrycznych, takich jak kule, cylindry i piramidy. Na przykład objętość \(V\) kuli o promieniu \(r\) wynosi:
\(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)
a powierzchnia \(A\) wynosi:
\(A = 4\pi r^2\)
Geometria współrzędnych w 3D ma szerokie zastosowanie w takich dziedzinach jak inżynieria, astronomia, fizyka i grafika komputerowa. Pomaga w modelowaniu obiektów ze świata rzeczywistego, zrozumieniu ich właściwości i wizualizacji złożonych systemów.
Rozważmy dwa punkty \(P_1(1, 2, 3)\) i \(P_2(4, 5, 6)\) . Aby znaleźć odległość między nimi, stosujemy wzór na odległość:
\(d = \sqrt{(4-1)^2 + (5-2)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2}\)
Mając trzy punkty na płaszczyźnie \(A(1, 0, 0)\) , \(B(0, 1, 0)\) i \(C(0, 0, 1)\) , możemy wyznaczyć równanie płaszczyzny poprzez rozwiązanie dla \(A\) , \(B\) , \(C\) i \(D\) . Jedną z takich płaszczyzn, która przechodzi przez te punkty, jest \(x + y + z - 1 = 0\) .
Geometria współrzędnych w 3 wymiarach rozszerza zasady kształtów, pomiarów i równań z dwóch do trzech wymiarów. Zrozumienie trójwymiarowego układu współrzędnych wraz z równaniami i pojęciami związanymi z punktami, liniami, płaszczyznami i bryłami zapewnia podstawową wiedzę niezbędną do odkrywania bardziej złożonych koncepcji geometrycznych i fizycznych w zastosowaniach w świecie rzeczywistym.
