A geometria coordenada em 3 dimensões estende os conceitos de geometria em um espaço que inclui comprimento, largura e altura. Este espaço é definido pelo sistema de coordenadas cartesianas tridimensionais, composto por três eixos: o eixo x (horizontal), o eixo y (vertical) e o eixo z (profundidade).
O sistema de coordenadas 3D nos permite especificar a localização de pontos no espaço tridimensional usando triplos ordenados \((x, y, z)\) , onde \(x\) representa a posição ao longo do eixo x, \(y\) ao longo do eixo y e \(z\) ao longo do eixo z. A origem, denotada como \((0, 0, 0)\) , é o ponto onde todos os três eixos se cruzam.
A distância \(d\) entre dois pontos \((x_1, y_1, z_1)\) e \((x_2, y_2, z_2)\) no espaço 3D pode ser calculada usando a fórmula:
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\)
Uma linha em 3D pode ser definida usando equações paramétricas envolvendo um ponto na linha \((x_0, y_0, z_0)\) e o vetor de direção \(\vec{v} = (a, b, c)\) . As equações paramétricas são:
\(x = x_0 + at\)
\(y = y_0 + bt\)
\(z = z_0 + ct\)
onde \(t\) é um parâmetro que varia em relação aos números reais.
Um plano no espaço 3D pode ser definido por uma equação da forma:
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
onde \(A\) , \(B\) , \(C\) e \(D\) são constantes e \(x\) , \(y\) e \(z\) são as coordenadas de qualquer ponto do plano.
O ângulo \(\theta\) entre duas linhas com vetores de direção \(\vec{v_1} = (a_1, b_1, c_1)\) e \(\vec{v_2} = (a_2, b_2, c_2)\) pode ser encontrado usando a fórmula do produto escalar:
\(\cos{\theta} = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{\lVert \vec{v_1} \rVert \lVert \vec{v_2} \rVert} = \frac{a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}\sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}\)
onde \(\lVert \vec{v_i} \rVert\) denota a magnitude do vetor \(\vec{v_i}\) .
A distância mais curta \(d\) de um ponto \((x_0, y_0, z_0)\) a um plano \(Ax + By + Cz + D = 0\) pode ser encontrada usando a fórmula:
\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)
Uma linha definida por equações paramétricas e um plano pode se cruzar em um ponto, ser paralela (sem interseção) ou a linha pode estar no plano. Para encontrar o ponto de intersecção (se existir), substitua as equações paramétricas da reta na equação do plano e resolva o parâmetro \(t\) .
O sistema de coordenadas 3D permite o cálculo do volume e da área de superfície de sólidos geométricos, como esferas, cilindros e pirâmides. Por exemplo, o volume \(V\) de uma esfera com raio \(r\) é:
\(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)
e a área da superfície \(A\) é:
\(A = 4\pi r^2\)
A geometria coordenada em 3D tem vastas aplicações em áreas como engenharia, astronomia, física e computação gráfica. Auxilia na modelagem de objetos do mundo real, na compreensão de suas propriedades e na visualização de sistemas complexos.
Considere dois pontos, \(P_1(1, 2, 3)\) e \(P_2(4, 5, 6)\) . Para encontrar a distância entre eles, aplicamos a fórmula da distância:
\(d = \sqrt{(4-1)^2 + (5-2)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2}\)
Dados três pontos em um plano \(A(1, 0, 0)\) , \(B(0, 1, 0)\) , e \(C(0, 0, 1)\) , podemos determinar o equação do plano resolvendo para \(A\) , \(B\) , \(C\) e \(D\) . Um desses planos que passa por esses pontos é \(x + y + z - 1 = 0\) .
A geometria coordenada em 3 dimensões expande os princípios de formas, medidas e equações de duas para três dimensões. A compreensão do sistema de coordenadas tridimensionais, juntamente com equações e conceitos associados a pontos, linhas, planos e sólidos, fornece conhecimento fundamental para explorar conceitos geométricos e físicos mais complexos em aplicações do mundo real.
