Координатная геометрия в трех измерениях расширяет концепции геометрии на пространство, включающее длину, ширину и высоту. Это пространство определяется трехмерной декартовой системой координат, состоящей из трех осей: оси X (горизонтальной), оси Y (вертикальной) и оси Z (глубины).
Трехмерная система координат позволяет нам указывать расположение точек в трехмерном пространстве с помощью упорядоченных троек \((x, y, z)\) , где \(x\) представляет положение вдоль оси x, \(y\) вдоль оси y и \(z\) вдоль оси z. Начало координат, обозначенное как \((0, 0, 0)\) , является точкой пересечения всех трех осей.
Расстояние \(d\) между двумя точками \((x_1, y_1, z_1)\) и \((x_2, y_2, z_2)\) в 3D-пространстве можно рассчитать по формуле:
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\)
Линия в 3D может быть определена с помощью параметрических уравнений, включающих точку на линии \((x_0, y_0, z_0)\) и вектор направления \(\vec{v} = (a, b, c)\) . Параметрические уравнения:
\(x = x_0 + at\)
\(y = y_0 + bt\)
\(z = z_0 + ct\)
где \(t\) — параметр, изменяющийся в пределах действительных чисел.
Плоскость в трехмерном пространстве можно определить уравнением вида:
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
где \(A\) , \(B\) , \(C\) и \(D\) — константы, а \(x\) , \(y\) и \(z\) — координаты любой точки плоскости.
Угол \(\theta\) между двумя прямыми с векторами направления \(\vec{v_1} = (a_1, b_1, c_1)\) и \(\vec{v_2} = (a_2, b_2, c_2)\) может найти по формуле скалярного произведения:
\(\cos{\theta} = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{\lVert \vec{v_1} \rVert \lVert \vec{v_2} \rVert} = \frac{a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}\sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}\)
где \(\lVert \vec{v_i} \rVert\) обозначает величину вектора \(\vec{v_i}\) .
Кратчайшее расстояние \(d\) от точки \((x_0, y_0, z_0)\) до плоскости \(Ax + By + Cz + D = 0\) можно найти по формуле:
\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)
Линия, определяемая параметрическими уравнениями, и плоскость могут пересекаться в точке, быть параллельными (без пересечения) или лежать на плоскости. Чтобы найти точку пересечения (если она существует), подставьте параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости и найдите параметр \(t\) .
Трехмерная система координат позволяет рассчитывать объем и площадь поверхности геометрических тел, таких как сферы, цилиндры и пирамиды. Например, объем \(V\) сферы радиуса \(r\) равен:
\(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)
а площадь поверхности \(A\) равна:
\(A = 4\pi r^2\)
Координатная геометрия в 3D имеет широкое применение в таких областях, как инженерия, астрономия, физика и компьютерная графика. Он помогает моделировать объекты реального мира, понимать их свойства и визуализировать сложные системы.
Рассмотрим две точки: \(P_1(1, 2, 3)\) и \(P_2(4, 5, 6)\) . Чтобы найти расстояние между ними, применим формулу расстояния:
\(d = \sqrt{(4-1)^2 + (5-2)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2}\)
По трем точкам на плоскости \(A(1, 0, 0)\) , \(B(0, 1, 0)\) и \(C(0, 0, 1)\) мы можем определить уравнение плоскости, решив для \(A\) , \(B\) , \(C\) и \(D\) . Одна из таких плоскостей, проходящая через эти точки, — это \(x + y + z - 1 = 0\) .
Координатная геометрия в трех измерениях расширяет принципы форм, измерений и уравнений от двух измерений до трех. Понимание трехмерной системы координат, а также уравнений и концепций, связанных с точками, линиями, плоскостями и твердыми телами, дает базовые знания для изучения более сложных геометрических и физических концепций в реальных приложениях.
