Gjeometria e koordinatave në 3-dimensione zgjeron konceptet e gjeometrisë në një hapësirë që përfshin gjatësinë, gjerësinë dhe lartësinë. Kjo hapësirë përcaktohet nga sistemi tredimensional i koordinatave Kartezian, i përbërë nga tre boshte: boshti x (horizontal), boshti y (vertikal) dhe boshti z (thellësi).
Sistemi i koordinatave 3D na lejon të specifikojmë vendndodhjen e pikave në hapësirën tre-dimensionale duke përdorur treshe të renditura \((x, y, z)\) , ku \(x\) përfaqëson pozicionin përgjatë boshtit x, \(y\) përgjatë boshtit y dhe \(z\) përgjatë boshtit z. Origjina, e shënuar si \((0, 0, 0)\) , është pika ku kryqëzohen të tre akset.
Distanca \(d\) midis dy pikave \((x_1, y_1, z_1)\) dhe \((x_2, y_2, z_2)\) në hapësirën 3D mund të llogaritet duke përdorur formulën:
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\)
Një vijë në 3D mund të përcaktohet duke përdorur ekuacione parametrike që përfshijnë një pikë në vijën \((x_0, y_0, z_0)\) dhe vektorin e drejtimit \(\vec{v} = (a, b, c)\) . Ekuacionet parametrike janë:
\(x = x_0 + at\)
\(y = y_0 + bt\)
\(z = z_0 + ct\)
ku \(t\) është një parametër që ndryshon mbi numrat realë.
Një plan në hapësirën 3D mund të përcaktohet nga një ekuacion i formës:
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
ku \(A\) , \(B\) , \(C\) dhe \(D\) janë konstante, dhe \(x\) , \(y\) dhe \(z\) janë koordinatat të çdo pike në aeroplan.
Këndi \(\theta\) ndërmjet dy drejtëzave me vektorë drejtimi \(\vec{v_1} = (a_1, b_1, c_1)\) dhe \(\vec{v_2} = (a_2, b_2, c_2)\) mund të gjendet duke përdorur formulën e produktit me pika:
\(\cos{\theta} = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{\lVert \vec{v_1} \rVert \lVert \vec{v_2} \rVert} = \frac{a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}\sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}\)
ku \(\lVert \vec{v_i} \rVert\) tregon madhësinë e vektorit \(\vec{v_i}\) .
Distanca më e shkurtër \(d\) nga një pikë \((x_0, y_0, z_0)\) në një plan \(Ax + By + Cz + D = 0\) mund të gjendet duke përdorur formulën:
\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)
Një vijë e përcaktuar nga ekuacionet parametrike dhe një plan mund të kryqëzohet në një pikë, të jetë paralel (pa kryqëzim), ose drejtëza mund të shtrihet në plan. Për të gjetur pikën e kryqëzimit (nëse ekziston), zëvendësoni ekuacionet parametrike të drejtëzës në ekuacionin e planit dhe zgjidhni parametrin \(t\) .
Sistemi i koordinatave 3D lejon llogaritjen e vëllimit dhe sipërfaqes së trupave të ngurtë gjeometrikë si sferat, cilindrat dhe piramidat. Për shembull, vëllimi \(V\) i një sfere me rreze \(r\) është:
\(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)
dhe sipërfaqja \(A\) është:
\(A = 4\pi r^2\)
Gjeometria e koordinatave në 3D ka aplikime të gjera në fusha të tilla si inxhinieria, astronomia, fizika dhe grafika kompjuterike. Ndihmon në modelimin e objekteve të botës reale, kuptimin e vetive të tyre dhe vizualizimin e sistemeve komplekse.
Konsideroni dy pika, \(P_1(1, 2, 3)\) dhe \(P_2(4, 5, 6)\) . Për të gjetur distancën midis tyre, zbatojmë formulën e distancës:
\(d = \sqrt{(4-1)^2 + (5-2)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2}\)
Duke pasur parasysh tre pika në një plan \(A(1, 0, 0)\) , \(B(0, 1, 0)\) , dhe \(C(0, 0, 1)\) , ne mund të përcaktojmë ekuacioni i planit duke zgjidhur për \(A\) , \(B\) , \(C\) dhe \(D\) . Një rrafsh i tillë që kalon nëpër këto pika është \(x + y + z - 1 = 0\) .
Gjeometria e koordinatave në 3 dimensione zgjerohet mbi parimet e formave, matjeve dhe ekuacioneve nga dy dimensione në tre. Kuptimi i sistemit të koordinatave tredimensionale, së bashku me ekuacionet dhe konceptet e lidhura me pikat, vijat, rrafshet dhe trupat e ngurtë, ofron njohuri themelore për eksplorimin e koncepteve më komplekse gjeometrike dhe fizike në aplikimet e botës reale.
