Koordinatgeometri i 3-dimensioner utökar begreppen geometri till ett utrymme som inkluderar längd, bredd och höjd. Detta utrymme definieras av det tredimensionella kartesiska koordinatsystemet, som består av tre axlar: x-axeln (horisontell), y-axeln (vertikal) och z-axeln (djup).
3D-koordinatsystemet låter oss specificera platsen för punkter i det tredimensionella rummet med hjälp av ordnade trippel \((x, y, z)\) , där \(x\) representerar positionen längs x-axeln, \(y\) längs y-axeln och \(z\) längs z-axeln. Ursprunget, betecknat som \((0, 0, 0)\) , är punkten där alla tre axlarna skär varandra.
Avståndet \(d\) mellan två punkter \((x_1, y_1, z_1)\) och \((x_2, y_2, z_2)\) i 3D-rymden kan beräknas med formeln:
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\)
En linje i 3D kan definieras med hjälp av parametriska ekvationer som involverar en punkt på linjen \((x_0, y_0, z_0)\) och riktningsvektorn \(\vec{v} = (a, b, c)\) . De parametriska ekvationerna är:
\(x = x_0 + at\)
\(y = y_0 + bt\)
\(z = z_0 + ct\)
där \(t\) är en parameter som varierar över de reella talen.
Ett plan i 3D-rymden kan definieras av en ekvation av formen:
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
där \(A\) , \(B\) , \(C\) , och \(D\) är konstanter, och \(x\) , \(y\) och \(z\) är koordinaterna någon punkt på planet.
Vinkeln \(\theta\) mellan två linjer med riktningsvektorerna \(\vec{v_1} = (a_1, b_1, c_1)\) och \(\vec{v_2} = (a_2, b_2, c_2)\) kan hittas med hjälp av dot-produktformeln:
\(\cos{\theta} = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{\lVert \vec{v_1} \rVert \lVert \vec{v_2} \rVert} = \frac{a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}\sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}\)
där \(\lVert \vec{v_i} \rVert\) anger storleken på vektorn \(\vec{v_i}\) .
Det kortaste avståndet \(d\) från en punkt \((x_0, y_0, z_0)\) till ett plan \(Ax + By + Cz + D = 0\) kan hittas med formeln:
\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)
En linje definierad av parametriska ekvationer och ett plan kan skära i en punkt, vara parallell (ingen skärning), eller så kan linjen ligga på planet. För att hitta skärningspunkten (om den finns), ersätt linjens parametriska ekvationer i planekvationen och lös parametern \(t\) .
3D-koordinatsystemet möjliggör beräkning av volym och ytarea av geometriska fasta ämnen som sfärer, cylindrar och pyramider. Till exempel är volymen \(V\) för en sfär med radien \(r\) :
\(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)
och ytarean \(A\) är:
\(A = 4\pi r^2\)
Koordinatgeometri i 3D har stora applikationer inom områden som teknik, astronomi, fysik och datorgrafik. Det hjälper till att modellera verkliga objekt, förstå deras egenskaper och visualisera komplexa system.
Tänk på två punkter, \(P_1(1, 2, 3)\) och \(P_2(4, 5, 6)\) . För att hitta avståndet mellan dem använder vi avståndsformeln:
\(d = \sqrt{(4-1)^2 + (5-2)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2}\)
Givet tre punkter på ett plan \(A(1, 0, 0)\) , \(B(0, 1, 0)\) , och \(C(0, 0, 1)\) , kan vi bestämma planets ekvation genom att lösa för \(A\) , \(B\) , \(C\) , och \(D\) . Ett sådant plan som passerar genom dessa punkter är \(x + y + z - 1 = 0\) .
Koordinatgeometri i 3-dimensioner expanderar på principerna för former, mått och ekvationer från två dimensioner till tre. Att förstå det tredimensionella koordinatsystemet, tillsammans med ekvationer och begrepp associerade med punkter, linjer, plan och fasta ämnen, ger grundläggande kunskap för att utforska mer komplexa geometriska och fysiska begrepp i verkliga tillämpningar.
