Kuratibu jiometri katika vipimo-3 huongeza dhana za jiometri katika nafasi inayojumuisha urefu, upana na urefu. Nafasi hii inafafanuliwa na mfumo wa kuratibu wa Cartesian wa pande tatu, unaojumuisha mhimili wa x (mlalo), mhimili wa y (wima), na mhimili wa z (kina).
Mfumo wa kuratibu wa 3D huturuhusu kubainisha eneo la pointi katika nafasi ya pande tatu kwa kutumia mara tatu zilizopangwa \((x, y, z)\) , ambapo \(x\) inawakilisha nafasi kwenye mhimili wa x, \(y\) kando ya mhimili wa y, na \(z\) kando ya mhimili wa z. Asili, iliyoashiriwa kama \((0, 0, 0)\) , ni mahali ambapo shoka zote tatu hupishana.
Umbali \(d\) kati ya pointi mbili \((x_1, y_1, z_1)\) na \((x_2, y_2, z_2)\) katika nafasi ya 3D unaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula:
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\)
Mstari katika 3D unaweza kubainishwa kwa kutumia milinganyo ya kigezo inayohusisha nukta kwenye mstari \((x_0, y_0, z_0)\) na vekta ya mwelekeo \(\vec{v} = (a, b, c)\) . Equations za parametric ni:
\(x = x_0 + at\)
\(y = y_0 + bt\)
\(z = z_0 + ct\)
ambapo \(t\) ni parameta ambayo inatofautiana juu ya nambari halisi.
Ndege katika nafasi ya 3D inaweza kufafanuliwa kwa equation ya fomu:
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
ambapo \(A\) , \(B\) , \(C\) , na \(D\) ni viunganishi, na \(x\) , \(y\) , na \(z\) ni viwianishi hatua yoyote kwenye ndege.
Pembe \(\theta\) kati ya mistari miwili yenye vekta za mwelekeo \(\vec{v_1} = (a_1, b_1, c_1)\) na \(\vec{v_2} = (a_2, b_2, c_2)\) inaweza kupatikana kwa kutumia fomula ya bidhaa ya nukta:
\(\cos{\theta} = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{\lVert \vec{v_1} \rVert \lVert \vec{v_2} \rVert} = \frac{a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}\sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}\)
ambapo \(\lVert \vec{v_i} \rVert\) inaashiria ukubwa wa vekta \(\vec{v_i}\) .
Umbali mfupi zaidi \(d\) kutoka kwa uhakika \((x_0, y_0, z_0)\) hadi kwenye ndege \(Ax + By + Cz + D = 0\) unaweza kupatikana kwa kutumia fomula:
\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)
Mstari unaofafanuliwa kwa usawa wa parametric na ndege inaweza kuingiliana kwa uhakika, kuwa sambamba (hakuna makutano), au mstari unaweza kulala kwenye ndege. Ili kupata sehemu ya makutano (ikiwa ipo), badilisha milinganyo ya parametric ya mstari kwenye mlinganyo wa ndege na usuluhishe kwa kigezo \(t\) .
Mfumo wa kuratibu wa 3D huruhusu kukokotoa kiasi na eneo la uso wa vitu vikali vya kijiometri kama vile tufe, silinda na piramidi. Kwa mfano, kiasi \(V\) cha tufe yenye radius \(r\) ni:
\(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)
na eneo la uso \(A\) ni:
\(A = 4\pi r^2\)
Kuratibu jiometri katika 3D ina matumizi makubwa katika nyanja kama vile uhandisi, unajimu, fizikia, na michoro ya kompyuta. Inasaidia katika kuiga vitu vya ulimwengu halisi, kuelewa mali zao, na kuibua mifumo changamano.
Fikiria mambo mawili, \(P_1(1, 2, 3)\) na \(P_2(4, 5, 6)\) . Ili kupata umbali kati yao, tunatumia formula ya umbali:
\(d = \sqrt{(4-1)^2 + (5-2)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2}\)
Kwa kuzingatia alama tatu kwenye ndege \(A(1, 0, 0)\) , \(B(0, 1, 0)\) , na \(C(0, 0, 1)\) , tunaweza kuamua mlinganyo wa ndege kwa kutatua \(A\) , \(B\) , \(C\) , na \(D\) . Ndege moja kama hiyo ambayo hupitia sehemu hizi ni \(x + y + z - 1 = 0\) .
Kuratibu jiometri katika vipimo-3 hukua juu ya kanuni za maumbo, vipimo, na milinganyo kutoka vipimo viwili hadi vitatu. Kuelewa mfumo wa kuratibu wa pande tatu, pamoja na milinganyo na dhana zinazohusiana na pointi, mistari, ndege, na vitu vikali, hutoa maarifa ya msingi ya kuchunguza dhana changamano zaidi za kijiometri na kimwili katika matumizi ya ulimwengu halisi.
