เรขาคณิตพิกัดสามมิติขยายแนวคิดของเรขาคณิตไปในพื้นที่ที่ประกอบด้วยความยาว ความกว้าง และความสูง พื้นที่นี้ถูกกำหนดโดยระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสามมิติ ซึ่งประกอบด้วยสามแกน: แกน x (แนวนอน) แกน y (แนวตั้ง) และแกน z (ความลึก)
ระบบพิกัด 3 มิติช่วยให้เราสามารถระบุตำแหน่งของจุดในพื้นที่สามมิติโดยใช้ลำดับสาม \((x, y, z)\) โดยที่ \(x\) แสดงถึงตำแหน่งตามแนวแกน x, \(y\) ตามแนวแกน y และ \(z\) ตามแนวแกน z จุดกำเนิด ซึ่งแสดงเป็น \((0, 0, 0)\) คือจุดที่แกนทั้งสามตัดกัน
ระยะทาง \(d\) ระหว่างจุดสองจุด \((x_1, y_1, z_1)\) และ \((x_2, y_2, z_2)\) ในปริภูมิ 3 มิติสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\)
เส้นตรงในรูปแบบ 3 มิติสามารถกำหนดได้โดยใช้สมการพาราเมตริกที่เกี่ยวข้องกับจุดบนเส้นตรง \((x_0, y_0, z_0)\) และเวกเตอร์ทิศทาง \(\vec{v} = (a, b, c)\) สมการพาราเมตริกคือ:
\(x = x_0 + at\)
\(y = y_0 + bt\)
\(z = z_0 + ct\)
โดยที่ \(t\) เป็นพารามิเตอร์ที่แปรผันตามจำนวนจริง
ระนาบในอวกาศ 3 มิติสามารถกำหนดได้โดยสมการของรูปแบบ:
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
โดยที่ \(A\) , \(B\) , \(C\) และ \(D\) เป็นค่าคงที่ และ \(x\) , \(y\) และ \(z\) เป็นพิกัด ณ จุดใดจุดหนึ่งบนเครื่องบิน
มุม \(\theta\) ระหว่างเส้นตรงสองเส้นที่มีเวกเตอร์ทิศทาง \(\vec{v_1} = (a_1, b_1, c_1)\) และ \(\vec{v_2} = (a_2, b_2, c_2)\) สามารถ พบได้โดยใช้สูตรผลิตภัณฑ์ดอท:
\(\cos{\theta} = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{\lVert \vec{v_1} \rVert \lVert \vec{v_2} \rVert} = \frac{a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}\sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}\)
โดยที่ \(\lVert \vec{v_i} \rVert\) หมายถึงขนาดของเวกเตอร์ \(\vec{v_i}\)
ระยะทางที่สั้นที่สุด \(d\) จากจุด \((x_0, y_0, z_0)\) ไปยังระนาบ \(Ax + By + Cz + D = 0\) สามารถหาได้โดยใช้สูตร:
\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)
เส้นที่กำหนดโดยสมการพาราเมตริกและระนาบสามารถตัดกันที่จุดใดจุดหนึ่ง ขนานกัน (ไม่มีจุดตัดกัน) หรือเส้นอาจวางอยู่บนระนาบก็ได้ ในการหาจุดตัดกัน (ถ้ามี) ให้แทนที่สมการพาราเมตริกของเส้นตรงลงในสมการระนาบแล้วแก้หาพารามิเตอร์ \(t\)
ระบบพิกัด 3 มิติช่วยให้สามารถคำนวณปริมาตรและพื้นที่ผิวของทรงเรขาคณิต เช่น ทรงกลม ทรงกระบอก และปิรามิด ตัวอย่างเช่น ปริมาตร \(V\) ของทรงกลมที่มีรัศมี \(r\) คือ:
\(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)
และพื้นที่ผิว \(A\) คือ:
\(A = 4\pi r^2\)
เรขาคณิตพิกัดในรูปแบบ 3 มิติมีการใช้งานมากมายในสาขาต่างๆ เช่น วิศวกรรม ดาราศาสตร์ ฟิสิกส์ และคอมพิวเตอร์กราฟิก ช่วยในการสร้างแบบจำลองวัตถุในโลกแห่งความเป็นจริง ทำความเข้าใจคุณสมบัติของวัตถุ และแสดงภาพระบบที่ซับซ้อน
พิจารณาสองประเด็น \(P_1(1, 2, 3)\) และ \(P_2(4, 5, 6)\) ในการหาระยะห่างระหว่างพวกมัน เราใช้สูตรระยะทาง:
\(d = \sqrt{(4-1)^2 + (5-2)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2}\)
เมื่อพิจารณาจุดสามจุดบนระนาบ \(A(1, 0, 0)\) , \(B(0, 1, 0)\) และ \(C(0, 0, 1)\) เราสามารถกำหนดได้ว่า สมการของเครื่องบินโดยการแก้หา \(A\) , \(B\) , \(C\) และ \(D\) ระนาบหนึ่งที่ผ่านจุดเหล่านี้คือ \(x + y + z - 1 = 0\)
เรขาคณิตพิกัดสามมิติขยายตามหลักการของรูปร่าง การวัด และสมการจากสองมิติเป็นสามมิติ การทำความเข้าใจระบบพิกัดสามมิติ ตลอดจนสมการและแนวคิดที่เกี่ยวข้องกับจุด เส้นตรง ระนาบ และของแข็ง ให้ความรู้พื้นฐานสำหรับการสำรวจแนวคิดทางเรขาคณิตและกายภาพที่ซับซ้อนมากขึ้นในการใช้งานในโลกแห่งความเป็นจริง
