Pinapalawak ng coordinate geometry sa 3-dimension ang mga konsepto ng geometry sa isang espasyo na kinabibilangan ng haba, lapad, at taas. Ang espasyong ito ay tinukoy ng three-dimensional na Cartesian coordinate system, na binubuo ng tatlong axes: ang x-axis (horizontal), y-axis (vertical), at z-axis (depth).
Ang 3D coordinate system ay nagbibigay-daan sa amin na tukuyin ang lokasyon ng mga punto sa three-dimensional na espasyo gamit ang mga ordered triples \((x, y, z)\) , kung saan ang \(x\) ay kumakatawan sa posisyon sa kahabaan ng x-axis, \(y\) kasama ang y-axis, at \(z\) kasama ang z-axis. Ang pinanggalingan, na tinutukoy bilang \((0, 0, 0)\) , ay ang punto kung saan ang lahat ng tatlong axes ay nagsalubong.
Ang distansya \(d\) sa pagitan ng dalawang puntos \((x_1, y_1, z_1)\) at \((x_2, y_2, z_2)\) sa 3D space ay maaaring kalkulahin gamit ang formula:
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\)
Maaaring tukuyin ang isang linya sa 3D gamit ang mga parametric equation na kinasasangkutan ng isang punto sa linya \((x_0, y_0, z_0)\) at ang vector ng direksyon \(\vec{v} = (a, b, c)\) . Ang mga parametric equation ay:
\(x = x_0 + at\)
\(y = y_0 + bt\)
\(z = z_0 + ct\)
kung saan ang \(t\) ay isang parameter na nag-iiba-iba sa mga tunay na numero.
Ang isang eroplano sa 3D space ay maaaring tukuyin sa pamamagitan ng isang equation ng form:
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
kung saan ang \(A\) , \(B\) , \(C\) , at \(D\) ay mga constant, at ang \(x\) , \(y\) , at \(z\) ay ang mga coordinate ng anumang punto sa eroplano.
Ang anggulo \(\theta\) sa pagitan ng dalawang linya na may mga vector ng direksyon \(\vec{v_1} = (a_1, b_1, c_1)\) at \(\vec{v_2} = (a_2, b_2, c_2)\) ay maaaring ay matatagpuan gamit ang tuldok na formula ng produkto:
\(\cos{\theta} = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{\lVert \vec{v_1} \rVert \lVert \vec{v_2} \rVert} = \frac{a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}\sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}\)
kung saan ang \(\lVert \vec{v_i} \rVert\) ay tumutukoy sa magnitude ng vector \(\vec{v_i}\) .
Ang pinakamaikling distansya \(d\) mula sa isang punto \((x_0, y_0, z_0)\) sa isang eroplano \(Ax + By + Cz + D = 0\) ay matatagpuan gamit ang formula:
\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)
Ang isang linya na tinukoy ng mga parametric equation at ang isang eroplano ay maaaring mag-intersect sa isang punto, maging parallel (walang intersection), o ang linya ay maaaring humiga sa eroplano. Upang mahanap ang punto ng intersection (kung mayroon man), palitan ang mga parametric equation ng linya sa equation ng eroplano at lutasin ang parameter \(t\) .
Ang 3D coordinate system ay nagbibigay-daan para sa pagkalkula ng volume at surface area ng mga geometric na solid gaya ng mga sphere, cylinder, at pyramids. Halimbawa, ang volume \(V\) ng isang globo na may radius \(r\) ay:
\(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)
at ang surface area \(A\) ay:
\(A = 4\pi r^2\)
Ang coordinate geometry sa 3D ay may malawak na aplikasyon sa mga larangan gaya ng engineering, astronomy, physics, at computer graphics. Nakakatulong ito sa pagmomodelo ng mga bagay sa totoong mundo, pag-unawa sa kanilang mga katangian, at pag-visualize ng mga kumplikadong sistema.
Isaalang-alang ang dalawang puntos, \(P_1(1, 2, 3)\) at \(P_2(4, 5, 6)\) . Upang mahanap ang distansya sa pagitan nila, inilalapat namin ang formula ng distansya:
\(d = \sqrt{(4-1)^2 + (5-2)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2}\)
Dahil sa tatlong puntos sa isang eroplano \(A(1, 0, 0)\) , \(B(0, 1, 0)\) , at \(C(0, 0, 1)\) , matutukoy natin ang equation ng eroplano sa pamamagitan ng paglutas para sa \(A\) , \(B\) , \(C\) , at \(D\) . Ang isang naturang eroplano na dumadaan sa mga puntong ito ay \(x + y + z - 1 = 0\) .
Ang coordinate geometry sa 3-dimension ay lumalawak sa mga prinsipyo ng mga hugis, sukat, at equation mula sa dalawang dimensyon hanggang sa tatlo. Ang pag-unawa sa tatlong-dimensional na sistema ng coordinate, kasama ang mga equation at konsepto na nauugnay sa mga punto, linya, eroplano, at solid, ay nagbibigay ng pundasyong kaalaman para sa pagtuklas ng mas kumplikadong geometric at pisikal na mga konsepto sa mga real-world na aplikasyon.
