3 boyutlu koordinat geometrisi, geometri kavramlarını uzunluk, genişlik ve yüksekliği içeren bir alana genişletir. Bu alan, üç eksenden oluşan üç boyutlu Kartezyen koordinat sistemi tarafından tanımlanır: x ekseni (yatay), y ekseni (dikey) ve z ekseni (derinlik).
3B koordinat sistemi, sıralı üçlüler \((x, y, z)\) kullanarak üç boyutlu uzaydaki noktaların konumunu belirtmemize olanak tanır; burada \(x\) x ekseni boyunca konumu temsil eder, \(y\) y ekseni boyunca ve \(z\) z ekseni boyunca. \((0, 0, 0)\) olarak gösterilen başlangıç noktası, üç eksenin hepsinin kesiştiği noktadır.
3B uzayda iki nokta \((x_1, y_1, z_1)\) ve \((x_2, y_2, z_2)\) arasındaki mesafe \(d\) aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\)
3B'de bir çizgi \((x_0, y_0, z_0)\) doğrusu üzerindeki bir noktayı ve \(\vec{v} = (a, b, c)\) yön vektörünü içeren parametrik denklemler kullanılarak tanımlanabilir. Parametrik denklemler şunlardır:
\(x = x_0 + at\)
\(y = y_0 + bt\)
\(z = z_0 + ct\)
burada \(t\) reel sayılara göre değişen bir parametredir.
3B uzaydaki bir düzlem aşağıdaki formdaki bir denklemle tanımlanabilir:
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
burada \(A\) , \(B\) , \(C\) ve \(D\) sabitlerdir ve \(x\) , \(y\) ve \(z\) koordinatlardır düzlemdeki herhangi bir noktanın
Yön vektörleri \(\vec{v_1} = (a_1, b_1, c_1)\) ve \(\vec{v_2} = (a_2, b_2, c_2)\) olan iki çizgi arasındaki \(\theta\) açısı şu şekilde olabilir: nokta çarpım formülü kullanılarak bulunabilir:
\(\cos{\theta} = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{\lVert \vec{v_1} \rVert \lVert \vec{v_2} \rVert} = \frac{a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}\sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}\)
burada \(\lVert \vec{v_i} \rVert\) \(\vec{v_i}\) vektörünün büyüklüğünü belirtir.
Bir \((x_0, y_0, z_0)\) noktasından \(Ax + By + Cz + D = 0\) düzlemine kadar olan en kısa mesafe \(d\) aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:
\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)
Parametrik denklemlerle tanımlanan bir çizgi ve bir düzlem bir noktada kesişebilir, paralel olabilir (kesişme yok) veya çizgi düzlem üzerinde yer alabilir. Kesişme noktasını bulmak için (varsa), doğrunun parametrik denklemlerini düzlem denkleminde değiştirin ve \(t\) parametresini çözün.
3 boyutlu koordinat sistemi küre, silindir ve piramitler gibi geometrik katıların hacim ve yüzey alanlarının hesaplanmasına olanak sağlar. Örneğin, yarıçapı \(r\) olan bir kürenin hacmi \(V\) şöyledir:
\(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)
ve yüzey alanı \(A\) şöyledir:
\(A = 4\pi r^2\)
3 boyutlu koordinat geometrisinin mühendislik, astronomi, fizik ve bilgisayar grafikleri gibi alanlarda geniş uygulamaları vardır. Gerçek dünyadaki nesnelerin modellenmesine, özelliklerinin anlaşılmasına ve karmaşık sistemlerin görselleştirilmesine yardımcı olur.
İki noktayı düşünün, \(P_1(1, 2, 3)\) ve \(P_2(4, 5, 6)\) . Aralarındaki mesafeyi bulmak için mesafe formülünü uygularız:
\(d = \sqrt{(4-1)^2 + (5-2)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2}\)
\(A(1, 0, 0)\) , \(B(0, 1, 0)\) ve \(C(0, 0, 1)\) düzleminde üç nokta verildiğinde, şunu belirleyebiliriz: \(A\) , \(B\) , \(C\) ve \(D\) için çözerek düzlemin denklemini bulun. Bu noktalardan geçen böyle bir düzlem \(x + y + z - 1 = 0\) dir.
3 boyutlu koordinat geometrisi, şekillerin, ölçümlerin ve denklemlerin ilkelerini iki boyuttan üç boyuta genişletir. Noktalar, çizgiler, düzlemler ve katılarla ilişkili denklemler ve kavramların yanı sıra üç boyutlu koordinat sistemini anlamak, gerçek dünya uygulamalarında daha karmaşık geometrik ve fiziksel kavramları keşfetmek için temel bilgi sağlar.
