Координатна геометрія в 3-х вимірах розширює поняття геометрії на простір, який включає довжину, ширину та висоту. Цей простір визначається тривимірною декартовою системою координат, що складається з трьох осей: осі x (горизонтальна), осі y (вертикальна) і осі z (глибина).
Тривимірна система координат дозволяє вказати розташування точок у тривимірному просторі за допомогою впорядкованих трійок \((x, y, z)\) , де \(x\) представляє позицію вздовж осі x, \(y\) уздовж осі y, а \(z\) уздовж осі z. Початок координат, позначений як \((0, 0, 0)\) , є точкою перетину всіх трьох осей.
Відстань \(d\) між двома точками \((x_1, y_1, z_1)\) і \((x_2, y_2, z_2)\) у тривимірному просторі можна обчислити за формулою:
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\)
Пряму в 3D можна визначити за допомогою параметричних рівнянь, що включають точку на лінії \((x_0, y_0, z_0)\) і напрямний вектор \(\vec{v} = (a, b, c)\) . Параметричні рівняння:
\(x = x_0 + at\)
\(y = y_0 + bt\)
\(z = z_0 + ct\)
де \(t\) — параметр, який змінюється відносно дійсних чисел.
Площина в тривимірному просторі може бути визначена рівнянням вигляду:
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
де \(A\) , \(B\) , \(C\) і \(D\) константи, а \(x\) , \(y\) і \(z\) є координатами будь-якої точки на площині.
Кут \(\theta\) між двома лініями з напрямними векторами \(\vec{v_1} = (a_1, b_1, c_1)\) і \(\vec{v_2} = (a_2, b_2, c_2)\) може можна знайти за формулою скалярного добутку:
\(\cos{\theta} = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{\lVert \vec{v_1} \rVert \lVert \vec{v_2} \rVert} = \frac{a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}\sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}\)
де \(\lVert \vec{v_i} \rVert\) позначає величину вектора \(\vec{v_i}\) .
Найкоротшу відстань \(d\) від точки \((x_0, y_0, z_0)\) до площини \(Ax + By + Cz + D = 0\) можна знайти за формулою:
\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)
Пряма, визначена параметричними рівняннями, і площина можуть перетинатися в точці, бути паралельними (не перетинатися) або пряма може лежати на площині. Щоб знайти точку перетину (якщо вона існує), підставте параметричне рівняння прямої в рівняння площини та розв’яжіть параметр \(t\) .
Тривимірна система координат дозволяє обчислювати об’єм і площу поверхні геометричних тіл, таких як сфери, циліндри та піраміди. Наприклад, об’єм \(V\) кулі радіуса \(r\) дорівнює:
\(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)
а площа поверхні \(A\) дорівнює:
\(A = 4\pi r^2\)
Геометрія координат у 3D має широке застосування в таких галузях, як інженерія, астрономія, фізика та комп’ютерна графіка. Це допомагає моделювати об’єкти реального світу, розуміти їхні властивості та візуалізувати складні системи.
Розглянемо дві точки, \(P_1(1, 2, 3)\) і \(P_2(4, 5, 6)\) . Щоб знайти відстань між ними, застосовуємо формулу відстані:
\(d = \sqrt{(4-1)^2 + (5-2)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2}\)
Дано три точки на площині \(A(1, 0, 0)\) , \(B(0, 1, 0)\) і \(C(0, 0, 1)\) , ми можемо визначити рівняння площини, розв’язуючи для \(A\) , \(B\) , \(C\) та \(D\) . Однією з таких площин, яка проходить через ці точки, є \(x + y + z - 1 = 0\) .
Координатна геометрія в 3-вимірах розширює принципи форм, вимірювань і рівнянь із двох вимірів на три. Розуміння тривимірної системи координат разом із рівняннями та концепціями, пов’язаними з точками, лініями, площинами та тілами, надає базові знання для вивчення більш складних геометричних і фізичних концепцій у реальних програмах.
