کوآرڈینیٹ جیومیٹری کو 3 ڈائمینشنز میں جیومیٹری کے تصورات کو ایک اسپیس میں پھیلاتا ہے جس میں لمبائی، چوڑائی اور اونچائی شامل ہوتی ہے۔ اس جگہ کی تعریف تین جہتی کارٹیزئن کوآرڈینیٹ سسٹم کے ذریعے کی گئی ہے، جو تین محوروں پر مشتمل ہے: x-axis (افقی)، y-axis (عمودی)، اور z-axis (گہرائی)۔
3D کوآرڈینیٹ سسٹم ہمیں ترتیب شدہ ٹرپلز \((x, y, z)\) استعمال کرتے ہوئے تین جہتی جگہ میں پوائنٹس کے مقام کی وضاحت کرنے کی اجازت دیتا ہے، جہاں \(x\) x-axis کے ساتھ پوزیشن کی نمائندگی کرتا ہے، \(y\) y محور کے ساتھ، اور \(z\) z محور کے ساتھ۔ اصل، بطور \((0, 0, 0)\) ، وہ نقطہ ہے جہاں تینوں محور آپس میں ملتے ہیں۔
3D اسپیس میں دو پوائنٹس \((x_1, y_1, z_1)\) اور \((x_2, y_2, z_2)\) کے درمیان فاصلہ \(d\) فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے شمار کیا جا سکتا ہے:
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\)
3D میں ایک لائن کی وضاحت پیرامیٹرک مساوات کا استعمال کرتے ہوئے کی جا سکتی ہے جس میں لائن پر ایک نقطہ شامل ہوتا ہے \((x_0, y_0, z_0)\) اور سمت ویکٹر \(\vec{v} = (a, b, c)\) ۔ پیرامیٹرک مساوات یہ ہیں:
\(x = x_0 + at\)
\(y = y_0 + bt\)
\(z = z_0 + ct\)
جہاں \(t\) ایک پیرامیٹر ہے جو حقیقی اعداد سے مختلف ہوتا ہے۔
3D جگہ میں ایک ہوائی جہاز کی وضاحت فارم کی مساوات سے کی جا سکتی ہے:
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
جہاں \(A\) ، \(B\) ، \(C\) ، اور \(D\) مستقل ہیں، اور \(x\) ، \(y\) ، اور \(z\) نقاط ہیں۔ ہوائی جہاز کے کسی بھی مقام پر۔
زاویہ \(\theta\) سمت ویکٹر کے ساتھ دو لائنوں کے درمیان \(\vec{v_1} = (a_1, b_1, c_1)\) اور \(\vec{v_2} = (a_2, b_2, c_2)\) کر سکتا ہے ڈاٹ پروڈکٹ فارمولہ کا استعمال کرتے ہوئے پایا جائے:
\(\cos{\theta} = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{\lVert \vec{v_1} \rVert \lVert \vec{v_2} \rVert} = \frac{a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}\sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}\)
جہاں \(\lVert \vec{v_i} \rVert\) ویکٹر کی شدت کو ظاہر کرتا ہے \(\vec{v_i}\) ۔
سب سے کم فاصلہ \(d\) ایک نقطہ \((x_0, y_0, z_0)\) سے ہوائی جہاز تک \(Ax + By + Cz + D = 0\) فارمولہ استعمال کرتے ہوئے پایا جا سکتا ہے:
\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)
پیرامیٹرک مساوات اور طیارہ کے ذریعہ بیان کردہ لائن ایک نقطہ پر ایک دوسرے کو کاٹ سکتی ہے، متوازی ہوسکتی ہے (کوئی چوراہا نہیں)، یا لائن ہوائی جہاز پر پڑ سکتی ہے۔ تقطیع کا نقطہ تلاش کرنے کے لیے (اگر یہ موجود ہے)، لائن کی پیرامیٹرک مساوات کو طیارہ مساوات میں بدلیں اور پیرامیٹر \(t\) کو حل کریں۔
3D کوآرڈینیٹ سسٹم جیومیٹرک ٹھوس جیسے کرہ، سلنڈر، اور اہرام کے حجم اور سطح کے رقبے کا حساب کتاب کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ مثال کے طور پر، رداس \(r\) والے کرہ کا حجم \(V\) ہے:
\(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)
اور سطح کا رقبہ \(A\) ہے:
\(A = 4\pi r^2\)
3D میں کوآرڈینیٹ جیومیٹری میں انجینئرنگ، فلکیات، طبیعیات، اور کمپیوٹر گرافکس جیسے شعبوں میں وسیع ایپلی کیشنز ہیں۔ یہ حقیقی دنیا کی اشیاء کی ماڈلنگ، ان کی خصوصیات کو سمجھنے اور پیچیدہ نظاموں کو دیکھنے میں مدد کرتا ہے۔
دو نکات پر غور کریں، \(P_1(1, 2, 3)\) اور \(P_2(4, 5, 6)\) ۔ ان کے درمیان فاصلہ معلوم کرنے کے لیے، ہم فاصلہ کا فارمولا لاگو کرتے ہیں:
\(d = \sqrt{(4-1)^2 + (5-2)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2}\)
ہوائی جہاز پر تین پوائنٹس دیے ہوئے \(A(1, 0, 0)\) , \(B(0, 1, 0)\) اور \(C(0, 0, 1)\) ، ہم تعین کر سکتے ہیں ہوائی جہاز کی مساوات \(A\) ، \(B\) ، \(C\) ، اور \(D\) کے لیے حل کر کے۔ ایسا ہی ایک طیارہ جو ان پوائنٹس سے گزرتا ہے \(x + y + z - 1 = 0\) ہے۔
3 جہتوں میں کوآرڈینیٹ جیومیٹری دو جہتوں سے تین تک شکلوں، پیمائشوں اور مساوات کے اصولوں پر پھیلتی ہے۔ تین جہتی کوآرڈینیٹ سسٹم کو سمجھنا، پوائنٹس، لائنوں، طیاروں اور ٹھوس سے منسلک مساوات اور تصورات کے ساتھ، حقیقی دنیا کے ایپلی کیشنز میں زیادہ پیچیدہ ہندسی اور جسمانی تصورات کو تلاش کرنے کے لیے بنیادی معلومات فراہم کرتا ہے۔
