3 o'lchovli koordinata geometriyasi geometriya tushunchalarini uzunlik, kenglik va balandlikni o'z ichiga olgan bo'shliqqa kengaytiradi. Bu bo'shliq uchta o'qdan tashkil topgan uch o'lchovli Dekart koordinatalari tizimi bilan belgilanadi: x o'qi (gorizontal), y o'qi (vertikal) va z o'qi (chuqurlik).
3D koordinatalar tizimi tartiblangan uchliklardan foydalangan holda uch o'lchovli fazoda nuqtalarning joylashishini aniqlashga imkon beradi \((x, y, z)\) , bu erda \(x\) x o'qi bo'ylab pozitsiyani ifodalaydi, \(y\) ) \(y\) y o'qi bo'ylab va \(z\) z o'qi bo'ylab. \((0, 0, 0)\) sifatida belgilangan koordinata boshi uch oʻqning kesishgan nuqtasidir.
3D fazodagi ikkita nuqta \((x_1, y_1, z_1)\) va \((x_2, y_2, z_2)\) orasidagi masofani \(d\) formula yordamida hisoblash mumkin:
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\)
3D formatdagi chiziqni parametrik tenglamalar yordamida aniqlanishi mumkin \((x_0, y_0, z_0)\) chiziqdagi nuqta va \(\vec{v} = (a, b, c)\) yoʻnalishi vektori. Parametrik tenglamalar:
\(x = x_0 + at\)
\(y = y_0 + bt\)
\(z = z_0 + ct\)
bu erda \(t\) haqiqiy sonlar bo'yicha o'zgaruvchan parametr.
3D fazodagi tekislikni quyidagi shakldagi tenglama bilan aniqlash mumkin:
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
Bu yerda \(A\) , \(B\) , \(C\) va \(D\) konstantalar, \(x\) , \(y\) va \(z\) koordinatalar. samolyotning istalgan nuqtasida.
Yoʻnalish vektorlari \(\vec{v_1} = (a_1, b_1, c_1)\) va \(\vec{v_2} = (a_2, b_2, c_2)\) ikkita chiziq orasidagi \(\theta\) burchak nuqta mahsulot formulasi yordamida topiladi:
\(\cos{\theta} = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{\lVert \vec{v_1} \rVert \lVert \vec{v_2} \rVert} = \frac{a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}\sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}\)
Bu erda \(\lVert \vec{v_i} \rVert\) \(\vec{v_i}\) vektorining kattaligini bildiradi.
\((x_0, y_0, z_0)\) \(Ax + By + Cz + D = 0\) tekislikgacha bo'lgan eng qisqa \(d\) masofani quyidagi formula yordamida topish mumkin:
\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)
Parametrik tenglamalar va tekislik bilan aniqlangan chiziq bir nuqtada kesishishi, parallel (kesishmasiz) bo'lishi yoki chiziq tekislikda yotishi mumkin. Kesishish nuqtasini (agar u mavjud bo'lsa) topish uchun chiziqning parametrik tenglamalarini tekis tenglamaga almashtiring va \(t\) parametrini yeching.
3D koordinata tizimi sharlar, silindrlar va piramidalar kabi geometrik jismlarning hajmi va sirt maydonini hisoblash imkonini beradi. Masalan, radiusi \(r\) bo'lgan sharning \(V\) hajmi:
\(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)
va sirt maydoni \(A\) :
\(A = 4\pi r^2\)
3D-dagi koordinatalar geometriyasi muhandislik, astronomiya, fizika va kompyuter grafikasi kabi sohalarda keng qo'llanilishiga ega. Bu real dunyo ob'ektlarini modellashtirish, ularning xususiyatlarini tushunish va murakkab tizimlarni vizualizatsiya qilishda yordam beradi.
Ikki nuqtani ko'rib chiqing, \(P_1(1, 2, 3)\) va \(P_2(4, 5, 6)\) . Ularning orasidagi masofani topish uchun biz masofa formulasini qo'llaymiz:
\(d = \sqrt{(4-1)^2 + (5-2)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2}\)
Tekislikdagi uchta nuqta berilgan \(A(1, 0, 0)\) , \(B(0, 1, 0)\) va \(C(0, 0, 1)\) ni aniqlashimiz mumkin. tekislik tenglamasini \(A\) , \(B\) , \(C\) va \(D\) uchun yechish orqali. Bu nuqtalardan o'tuvchi shunday tekisliklardan biri \(x + y + z - 1 = 0\) dir.
3 o'lchovli koordinata geometriyasi shakllar, o'lchovlar va tenglamalar tamoyillari asosida ikki o'lchovdan uchtagacha kengayadi. Nuqtalar, chiziqlar, tekisliklar va qattiq jismlar bilan bog'liq tenglamalar va tushunchalar bilan bir qatorda uch o'lchovli koordinatalar tizimini tushunish haqiqiy dunyo ilovalarida yanada murakkab geometrik va fizik tushunchalarni o'rganish uchun asosiy bilimlarni beradi.
